理论力学(新版).docVIP

 HYPERLINK / \t _self  PAGE  PAGE 5页 （三）点的运动的自然法 在动点运动的轨迹上任取一定点O’作为原点，并规定量取弧长s的正方向(图4—2—1)，将此弧长的代数值称为弧坐标。同时在动点M处引入自然轴系，这样，以自然法表示的动点的运动方程、速度和加速度如表4—2—2所示。 表4—2—2中公式表明，动点的速度方向是沿着动点轨迹的切线方向。若ds／dt0，则速度指向切线的正向；反之，速度指向切线的负向。动点的加速度a处于τ和n组成的密切面内。其中，法向加速度an表明速度方向随时间的变化率，其方向沿着动点的主法线，且指向轨迹曲线的曲率中心。切向加速度aτ表明速度的大小随时间的变化率，其方向沿着动点在轨迹上的切线方向。若dv／dt0，则aτ指向τ的正向；若dv／dt0，则指向τ的负向。当aτ与v同号时，动点作加速曲线运动；反之为减速曲线运动。 （四）匀速和匀变速曲线运动 速度v=常量的曲线运动，称为匀速曲线运动；切向加速度aτ=常量的曲线运动，称为匀变速曲线运动。 设t=0时，动点的初速度和初弧坐标分别为vo和so，则s、v、aτ、an和t等各运动量之间的关系式如表4—2—3所示。 当动点沿f轴作匀速直线运动或匀变速直线运动时，表4—2—3所示的关系式仍可适用，只需在这些式中分别用a、xo、x代替aτ、s0、s。显然，对直线运动而言，动点的曲率半径ρ＝无穷大，故恒有an＝0。 （五）点的运动学问题的常见类型 1．已知点的运动方程求点的速度、加速度和轨迹等。这类问题的关键是如何正确建立点的运动方程。为此，首先要选择适当的坐标系，并把动点置于一般位置。为了避免符号上的差错，一般将动点放在直角坐标的第一象限或弧坐标的正向。其次，根据约束的几何条件(包括不变的绳长、机构装配的几何关系等)，并运用几何学的知识建立动点的运动方程。最后，对动点的运动方程作求导运算，即可得点的速度、加速度，并利用有关公式可解得曲率半径和其他未知量。 2．已知动点的加速度求动点的速度和运动方程等。这类问题的基本运算方法是积分，其积分常???由运动的初始条件(即t=t0时，动点的位置和速度)确定。 为便于进行定积分运算，有时要适当地进行变量置换。即把a用适当的导数形式来表示，使微分方程仅包含两个变量，并可分别分离在微分方程等式的两边，逐次积分，即可得动点的速度和运动方程。现以动点沿I轴的直线运动为例，将加速度方程的变量分离方法列于表4—2—4中。 由表4—2—4可知，将速度写成=dx/dt，并代人速度方程，再积分一次就可得到相应的运动方程x=f(t)。 3．各种描述方法相结合的综合问题。对于这类问题，要求能灵活而熟练地运用各种描述方法所给出的关系式。 如已知直角坐标法描述的点的运动方程(包括轨迹方程)，求点沿轨迹的运动方程、切向加速度、法向加速度和曲率半径p等。现以点的平面曲线运动为例，图示这一问题的求解途径(图4－2—2)。图中虚、实线分别图示了某些物理量的两种求解方法。 在实际问题中，点的运动学问题的类型颇多，读者应根据具体情况灵活应用上述各表所示的各种关系式进行解算。 (六)例题 [例4—2—l]活塞杆AC以匀速v向上运动，通过长为l的连杆AB带动滑块B沿水平直槽运动，试求θ=30o时，滑块B的速度。 [解] 为使动点B置于坐标系的第一象限内，选固定点O为原点，建立坐标系Oxy如图4—2—3所示。根据图示几何关系，有 将上式对时间求一阶导数，得 因tgθ=y/x, ,则θ=30o时滑块B的速度 负号表示vB的方向沿着x轴的负向。 [例4—2—2] 铅直导杆以匀速vo向心运动，并带动销子M沿着抛物线x=y2／3的槽运动，其中x，y以m计。试求y=2m处销于M在该位置的切向加速度。 [解] 以销子M为动点，由题意知，，又因动点的加速度a必须指向轨迹曲线的内凹一边，故可判定a的方向是沿着y轴并指向朝下。显然若图示a=aτ+an的矢量关系(图4—2—4b)，就可通过a来解出aτ，为此，先将动点M的轨迹方程对t求一阶导数，并代人，经整理得 上式再对t求一阶导数，并代人y=2m，可得动点M在该处的加速度为 负号表明a指向与y轴正向相反。此结果与以上分析是一致的。 根据动点M的轨迹方程，可求得y=2m处，τ与x轴正向间的夹角α为 则由图4—2—4b所示的几何关系，得 指向如图示。 当然，亦可由aτ=dv/dt关系求解，请读者自行思考。