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PAGE  PAGE 19 第六讲 线性变换 线性变换 空间分解问题 1.设是数域上的二次多项式，在内有互异根，设是上的线性空间的一个线性变换，，证明： 1）为的特征值， 2）表示属于的特征子空间，则 证明：由已知 由于 所以存在，使得， 但 所以为的特征值，是的属于的特征向量. 同理为的特征值. 2）由于互异，所以，即存在多项式使得 ，所以 对任意， 令 则所以 所以 故， 又设，由于，所以， 所以，所以 所以. 2.设是上的线性空间的一个线性变换， 证明： 证明：，显然 任意，，， 所以，所以，故，所以 任意，由于，所以存在，使得，由所以，又所以，所以，故 所以.. 方法二：令，任意，则 反之任意，存在，使得， 所以，所以 由于所以，由于，所以存在多项式使得，所以 对任意， 令 则所以 所以，所以 任意，所以， 所以，故，所以. 3.，设是上的线性空间的一个线性变换，是的核，是的核，是的核，证明： 证明：由于，所以存在多项式使得，所以 对任意，则. 由于 令 则所以， 所以，所以 任意，所以， 所以，故，所以 3. 是有理数域上的线性空间，设是的一个非零线性变换，且满足 ，证明：1）；2）必存在的一个3维—子空间. 证明：1）由于，所以 令， 令，任意， 所以 反之任意，存在，使得， 所以， 所以 由于，所以存在多项式使得，所以 对任意， 令 则所以， 所以，所以 任意，所以， 所以，故，所以 2)由于是的一个非零线性变换，所以存在所以. 对任意二次多项式，设，则由于是有理数域上的不可约多项式，所以或，由于则存在多项式使得，所以，所以 线性无关，设，则是的3维子空间，且所以即，故. 所以是的一个3维—子空间. 若是有限维空间还可以进行如下证明： 由知的最小多项式必为的因式，又所以的最小多项式必为含因子，又是有理数域上的不可约多项式，所以必有为在有理数域上的初等因子，所以在某组基下对应的矩阵为有理标准形，其中必至少有一块由确定，不妨设为，所以，如果关于的矩阵为，则取 ，则是的一个3维的—子空间. 4. 设是上的线性空间的一个线性变换， ,证明： 证明：对任意的， 因为，所以， 所以，所以 对，则.由于，所以存在多项式使得，所以 ，所以.综上 5.证明：是为线性空间，是的线性变换，证明：的充分必要条件为 或的充分必要条件为 证明：如果，则 对任意的，都有, 所以对，存在使得，设 由于，所以存在 则所以， 显然 所以 如果，取为的基， 将扩充为的基，设， 则所以 ， 由于线性无关， 所以 所以是的基. ，又，所以是的基，线性无关 设 则，所以，所以 故线性无关. 设，则 由于线性无关，故 所以，即. 6. 设是上维线性空间的一个线性变换，是的子空间， 证明：是可逆变换的充分必要条件是 证明：设与分别为的基，则由知是的基，是维的线性空间. 如果是可逆的线性变换，则仍是的基，所以 如果， 由于 所以，又是维的线性空间 所以线性无关，所以是的基，所以将的基化为基，所以可逆. 特征值、特征向量、特征多项式 1）有特征值，则矩阵多项式有特征值 2）的特征多项式为， 则 3）哈密尔顿-凯莱定理：的特征多项式为，则 4)最小多项式是以为根的次数最低的首项系数为1的多项式 性质：最小多项式整除任何以为根的多项式 5）的属于不同特征值的特征向量线性无关 1. 是阶复方阵，的特征多项式与最小多项式有完全相同的根（重数可能不同） 证明：由哈密尔顿-凯莱定理：的特征多项式为，则，所以 所以最小多项式的根都是特征多项式的根。 如果是特征多项式的根，则存在非零向量，使得，所以 而，所以，又，所以，所以特征多项式的根都是最小多项式的根。故的特征多项式与最小多项式有完全相同的根。 2. 是数域上的阶方阵，是的特征多项式，，证明：如果互素，可逆. 证明：，所以所以存在多项式使得， 所以，由于,所以，所以可逆 是的多项式。 3.若为的复系数多项式，复方阵的特征值都不是的根，求证：可逆，且其逆是的多项式 证明：设是的特征多项式，由于的特征值都不是的根，所以（同上） 4. 是数域上的阶方阵，可逆，则可以表示成的多项式 证明：可逆，则的特征值都不为0，所以的特征多项式的常数项非零，令， 又 , 所以 5. 是数域上的阶方阵，为首项系数为1的不可约多项式，且 证明：1）关于矩阵的加法和数乘法构成上的线性空间； 2）若则 3）的维数等于的次数 证明：1）是的非空子集，且对任意,,所以关于矩阵的加法和数乘法构成上的线性空间。 2）设是的最小多项式，则首项系数为1，且对任意满足的都有，，所以，又为首项系数为1的不可约多项式，所以，即就是的最小多项式，所以若则 3）设，由于就是的最小多项式，所以对应任何次数小于的多项式都有，所以如果不全