重积分(极坐标部分的计算--.docVIP

PAGE  PAGE 14 第二节 二重积分的计算（续：极坐标部分） (2)（09，3，10）计算二重积分 ,其中 分析: 三、利用极坐标系计算二重积分 1．极坐标的相关知识 （1）极点、极轴、极径、极角 （2）当极点与原点重合，极轴与x轴重合时有 直角坐标与极坐标的互化公式或 （3）常见曲线的极坐标方程 （从极点出发的射线）； （直线）； （圆）； （圆）； （圆）. 2．极坐标系中的面积元素 . 见图知: . 上式取，推出 . 3．用极坐标系计算二重积分 . 其中: . 证明： . . 4．用二次累次积分公式计算二重积分 (1)若(极点在外的极扇环),则 . (2) 若(极点在边界上的极扇形),则 . 补图 (3) 若(极点在内部的极扇形),则 . 例18 计算， 其中是由中心在原点，半径 为的圆周所围成的闭区域 . （此积分无法用实积分计算）. 解: 令, 于是 , 则 . 例19 计算积分 . () （与下题图形类似上半部） 例20(1)(96.3) 累次积分可以写成 (A) (B) (C) (D) 答　(D).因为积分区域的边界可以表示成 且 于是 故累次积分可写成或 . (2),是圆域 解　区域可表示为 , 例21 化下列二重积分为极坐标形式 （1）. （2）. （3）. （4）. 5. 重要结论：下列两种情况用极坐标计算简便.（1）当积分区域为圆域或圆域的一部分，或积分区域的边界用极坐标表示较为简单；（2）当被积函数可以表示为时. 6. 极坐标系下积分区域的面积为 . 例22（1）(98.5) 设,求. 解　令,,则 . . （2）(00.6) 计算二重积分,其中是由曲线 和围成的区域. 解　积分区域可表示为 , 于是 , 令，得 . （3）(03.8) 计算二重积分,其中积分区域 . 解　作极坐标变换令,,则 . 令,则.记,由于 , 故解得.从而. （4）(04.8) 求, 其中是由圆和所围成的平面 区域(如图). 解　将积分区域分为大圆 , 与小圆之差. 由对称性知 . , （） 所以 . （5）(05.9) 计算二重积分, 其中 . 解　将分成与两部分,其中 , 则 ， 其中 , 故 . 例（6）计算积分 ，为圆环与直线所围城的第一象限内的区域. 解 ， . （7）(99.7) 计算二重积分,其中是由,, 以及曲线 所围成的平???区域. 解　积分区域可表示为 , 于是 . 令,则, . 另解：设为矩形区域，为半圆形区域；则； ， ， ＝. 三、广义二重积分 以下举例说明常见的广义二重积分 例23 求,,是整个平面. 解：令,由于 ， 当时,,原积分收敛,且; 而当时,,原积分发散. 例24证明，.（泊松积分） ， 证明:因为 . 所以 . 另证：设，且 一方面 ； 另一方面 由. 证法三：设， . 则由得 ， 将上式取求极限得 ，即. 例25(90.5) 计算二重积分,其中是由曲线和在第一象限所围成的区域. 解　积分区域可表示为 ， . 例26 设 ，，，其中 ，求. 解 ； . 注意 ， 在 上讨论： (1)当即时， ，所以 . (2)当即时， . 补图 (3)当即时， . (4)当即时， ，所以 . 综上所述 例27 (97.6) 设函数在上连续,且满足方程 求. 解 由于 , 所以.令,有 , 于是,满足积分关系式 , 易知,将上式两端求导 , 这是一阶线性方程,由通解公式得, 其中为任意常数,由,知, 所以 . 练习1.( 　 ). (a) (b) (c) (d) 答　(d).因为积分区域为 , 积分区域还可以表示为 , 所以选(d). 小结：1.结合图形选择适当的积分顺序计算累次积分，以简化二重积分的运算;学会画图与看图,注意积分限的正确表示. 学会灵活运用直角坐标与极坐标二重积分的互化. 2.运用极坐标积分时注意用互化公式变形,同时注意面积元素的正确表示以及不同类型积分公式的正确使用. 3.1)若，则 2)若且 ，则 4.极坐标形式计算二重积分的公式 5.下列两种情况用极坐标计算简便. 当积分区域为圆域或圆域的一部分，或积分区域的边 界用极坐标表示较为简单； （2）当被积函数可以表示为时. 6. 极坐标系下积分区域的面积为 . 课后记：存在问题:不能正确表示出二次累次积分;不能正确进行直 角坐标与极坐标二重积分的互化;不能正确写出积分限.计 算错误多.