XXXXXXX 试卷 - 华中师范大学.docVIP

第  PAGE 5 页 （共 5 页） 2007年湖北省高等教育自学考试 微分几何试卷（A卷） （课程代号：2014 ） 说明：下面我们用表示曲面的第一基本量，用表示曲面的地二基本量。 题号一二三四五六七八九十总分题分101010203020一、单项选择题　（本大题共10小题，每小题1分，共10分） 1．如果（一个常数），则 A．是常向量 B． C． D． 2.下列几何量哪一个不是内蕴量？ A．平均曲率 B．高斯曲率 C． D． 3．如果曲线的挠率恒为零，则该曲线一定是 A．测地线 B．平面曲线 C．球面曲线 D．一般螺线。 4．曲纹坐标网是正交网的充分必要条件是 A． B． C． D． 5．测地曲率为零的曲线叫 A．渐近线 B．曲率线 C．杜邦指标线 D．测地线 6．下面的曲面之中，哪一个的高斯曲率等于？ A．伪球面 B．球面 C．平面 D．抛物面 7．如果曲面在某点的两个主曲率相等，则曲面在这一点的高斯曲率 A．非正 B．非负 C．为零 D．非零 8．如果曲面上两个方向和满足，则这两个方向 A．正交 B．平行 C．共轭 D．是渐近方向 9．如果曲面满足，则是 A．法曲率 B．主曲率 C．主曲率的相反数 D．测地曲率 10．高斯曲率小于零的点一定是 A．椭圆点 B．抛物点 C．平点 D．双曲点 二、多项选择题　（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 11．下列曲线中哪些是正则曲线 A． B． C．； D． E． 12．下面曲面之中哪些是旋转曲面？ A．球面 B．正螺面 C．悬链面 D．平面 E．圆柱面 13．曲面的第二基本形式为 A． B． C． D． E． 14．下面公式哪些是正确的？ A． B． C． D． E． 15. 在脐点处，下列命题哪些是正确的？ （ ） A．第二基本形式与第一基本形式成比例 B．法曲率与切方向无关 C．第三基本形式为零 D．平均曲率等于主曲率 E．高斯曲率与平均曲率之比为常数 三、填空题　（本大题共10小题，每小题1分，共10分） 16．在伏雷内公式???，____________________。 17．半径是的球面的高斯曲率为_________ __。 18．极小曲面的平均曲率是 。 19．曲线的切向量为 。 20．设曲面的第一基本形式为，则-曲线与-曲线的夹角为 。 21．曲面的第三基本形式与第一、第二基本形式之间的关系是 。 22．平面上的测地线是 。 23．如果曲面上取半测地坐标网，则第一基本形式为 。 24．设曲面的高斯曲率是0，则曲面上的测地三角形的三内角之和为 。 25．两个向量函数的向量积的导数公式为 。 四、简单计算题　（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 26．计算曲线的弧长。 27．求曲线在点处的切线方程。 28．设曲面在某点处的第一基本量为，第二基本量为，求曲面在该点沿方向的法曲率。 29．已知，，，求混合积。 30．设，，求它们的夹角余弦。 五、综合计算题　（本大题共3小题，30分） 31．设曲线的参数表示为，其中，，请计算在任意点处的曲率和挠率。 32．求曲面：的高斯曲率和平均曲率。 33．求位于正螺面上的圆柱螺线，，的测地曲率。 六、证明题　（本大题共2小题，20分） 34.设直纹面的向量表示为。证明该直纹面的高斯曲率，等号成立的充要条件是直纹面可展，即。 35．设有曲面，其单位法向量是，高斯曲率是。证明。  附件： 试题来源一览表 题号章.节题号章.节题号章.节题号章.节题号页码题号页码11.1111.3212.3311.4415122.2122.1222.6322.3425231.4132.2232.6332.6435342.2142.5242.6342.4445452.6152.