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[高中考数学]知识点总结(几何部分)
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高中数学知识点总结(几何部分)
Carrot
56、向量的有关概念
(1)向量——既有大小又有方向的量。
(2)向量的模——有向线段的长度。
(3)单位向量,且;零向量且。
(4)相等向量等价于长度相等且方向相同,于是在此规定下,向量可以在平面(或空间)平行移动而不改变。
(5)平行向量——方向相同或相反的向量。 规定零向量与任意向量平行!
存在唯一实数,使。
(6)向量的加、减法如图:
(7)平面向量基本定理(向量的分解定理)
是平面内的两个不共线向量,为该平面任一向量,则存在唯一实数对,使得,其中叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。
(8)向量的坐标表示
是一对相互垂直的单位向量,则有且只有一对实数,使得,称为向量的坐标,记作即为向量的坐标表示。
设,则
,
若,则,且,即两点之间的距离公式。
56、平面向量的数量积
(1)叫做向量的数量积(或内积),为向量的夹角,。
数量积的几何意义:
等于与在的方向上的射影的乘积。
(2)数量积的运算法则
①
②
③
注意:数量积不满足结合律!
(3)重要性质,设
①
②(,唯一确定)
③
④
例题 已知均为单位向量,其夹角为60°,那么 (答:)
57、线段的定比分点
设是直线上的两点,分点在上,且不同于,若存在一实数,使得,则叫做分有向线段所成的比(在线段内,在线段外),而且
,特别是为中点时,。
拓展:,则△重心的坐标是。
在此,是否记得三角形的重心、垂心、外心、内心及其性质?!
58、立体几何中平行、垂直关系证明的思路
(1)平行垂直的证明主要利用线面关系的转化:
(2)线面平行的判定:
面面
(3)线面平行的性质:
面,面,
(4)三垂线定理(及逆定理):
在面内射影为,且面,则。
(5)线面垂直:
(6)面面垂直:
判定:
性质:
59、三类角的定义及求法
(1)异面直线所成的角,0°<≤90°
图59(1) 图59(2)
(2)直线与平面所成的角,0°≤≤90°,当时,。
(3)二面角:的半平面角,。
(三垂线定理法:A∈作或证AB⊥于B,作BO⊥棱于O,连AO,则AO⊥棱l,∴∠AOB为所求。)
三类角的求法:①找出或作出有关的角。②证明其符合定义,并指出所求作的角。③计算大小(解直角三角形,或用余弦定理)。当然,也可以考虑利用向量来做,自己可以回忆和考虑下。
例题:(1)如图,OA为的斜线,OB为其在内射影,OC为内过O点任一直线。证明:。(此为三面角定理)
(2)如图ABCD为菱形,∠DAB=60°,PD⊥面ABCD,且PD=AD,求面PAB与面PCD所成的锐二面角的大小。(提示 ∵AB∥DC,P为面PAB与面PCD的公共点,作PF∥AB,则PF为面PCD与面PAB的交线)
60、空间几种距离的求法
点与点,点与线,点与面,线与线,线与面,面与面间距离。
将空间距离转化为两点的距离,构造三角形,解三角形求线段的长(如:三垂线定理法,或者用等积转化法)。
如:正方形ABCD—A1B1C1D1中,棱长为,则:
(1)点C到面AB1C1的距离为___________;
(2)点B到面ACB1的距离为____________;
(3)直线A1D1到面AB1C1的距离为____________;
(4)面AB1C与面A1DC1的距离为____________;
(5)点B到直线A1C1的距离为_____________。
61、理解正棱柱、正棱锥的定义并掌握它们的性质
正棱柱——底面为正多边形的直棱柱
正棱锥——底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面的中心
正棱锥的计算集中在四个直角三角形中:
,,和,利用它们能够求出
(其中——底面周长,——斜高)
×底面积×高
62、球的性质
(1)球心和截面圆心的连线垂直于截面,且截面半径,其中为球半径,为球心到截面圆心的距离。
(2)球面上两点的距离是经过这两点的大圆的劣弧长,为此要找球心角!
(3)如图,为纬度角,它是线面成角;为经度角,它是面面成角。
(4)球表面积,球体积。
(5)球内接长方体的对角线是球的直径;而正四面体的外接球半径与内切球半径之比为。
练习:一正四面体的棱长均为,四个顶点都在同一球面上,则此球的表面积为( )。(答案:)
63、熟记下列平面几何上直线和圆的知识点
(1)直线的倾斜
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