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学通教育网: 中小学数理化专业培训机构 第三十四讲 直线与圆锥曲线的位置关系 一、复习目标要求 1．通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想； 2．掌握直线与圆锥曲线的位置关系判定及其相关问题。 二、2010年命题预测 近几年来直线与圆锥曲线的位置关系在高考中占据高考解答题压轴题的位置，且选择、填空也有涉及，有关直线与圆锥曲线的位置关系的题目可能会涉及线段中点、弦长等。分析这类问题，往往利用数形结合的思想和“设而不求”的方法，对称的方法及韦达定理等。 预测2010年高考： 1．会出现1道关于直线与圆锥曲线的位置关系的解答题； 2．与直线、圆锥曲线相结合的综合型考题，等轴双曲线基本不出题，坐标轴平移或平移化简方程一般不出解答题，大多是以选择题形式出现。 三、知识精点讲解 1．点M(x0，y0)与圆锥曲线C：f(x，y)=0的位置关系 2．直线与圆锥曲线的位置关系 直线与圆锥曲线的位置关系，从几何角度可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异公共点。 直线与圆锥曲线的位置关系的研究方法可通过代数方法即解方程组的办法来研究。因为方程组解的个数与交点的个数是一样的。 直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离．对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．这三种位置关系的判定条件可引导学生归纳为： 注意：直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件． 3．直线与圆锥曲线相交的弦长公式 设直线l:y=kx+n，圆锥曲线：F(x,y)=0，它们的交点为P1 (x1,y1)，P2 (x2,y2)， 且由，消去y→ax2+bx+c=0（a≠0），Δ=b2 －4ac。 则弦长公式为： d====。 焦点弦长：（点是圆锥曲线上的任意一点，是焦点，是到相应于焦点的准线的距离，是离心率）。 四．典例解析 题型1：直线与椭圆的位置关系 例1．已知椭圆：，过左焦点F作倾斜角为的直线交椭圆于A、B两点，求弦AB的长。 解析：a=3,b=1,c=2，则F（-2，0??。 由题意知：与联立消去y得：。 设A（、B（，则是上面方程的二实根，由违达定理，，，又因为A、B、F都是直线上的点， 所以|AB|= 点评：也可让学生利用“焦半径”公式计算。 例2．中心在原点，一个焦点为F1（0，）的椭圆截直线所得弦的中点横坐标为，求椭圆的方程。 解析：设椭圆的标准方程为，由F1（0，）得 把直线方程代入椭圆方程整理得：。 设弦的两个端点为，则由根与系数的关系得： ，又AB的中点横坐标为， ，与方程联立可解出 故所求椭圆的方程为：。 点评：根据题意，可设椭圆的标准方程，与直线方程联立解方程组，利用韦达定理及中点坐标公式，求出中点的横坐标，再由F1（0，）知，c=，，最后解关于a、b的方程组即可。 例3．（06辽宁卷）直线与曲线 的公共点的个数为（ ） (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 解析：将代入得：。 ，显然该关于的方程有两正解，即x有四解，所以交点有4个，故选择答案D。 点评：本题考查了方程与曲线的关系以及绝对值的变换技巧，同时对二次方程的实根分布也进行了简单的考查。 例4．（2000上海，17）已知椭圆C的焦点分别为F1（，0）和F2（2，0），长轴长为6，设直线y=x+2交椭圆C于A、B两点，求线段AB的中点坐标。 解析：设椭圆C的方程为， 由题意a=3，c=2，于是b=1. ∴椭圆C的方程为＋y2＝1． 由得10x2＋36x＋27＝0， 因为该二次方程的判别式Δ＞0，所以直线与椭圆有两个不同的交点， 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则x1＋x2＝， 故线段AB的中点坐标为（）． 点评：本题主要考查椭圆的定义标准方程，直线与椭圆的位置关系及线段中点坐标公式。 题型2：直线与双曲线的位置关系 例5．（1）过点与双曲线有且只有一个公共点的直线有几条，分别求出它们的方程。 （2）直线与双曲线相交于A、B两点，当为何值时，A、B在双曲线的同一支上？当为何值时，A、B分别在双曲线的两支上？ 解析：（1）解：若直线的斜率不存在时，则，此时仅有一个交点，满足条件； 若直线的斜率存在时，设直线的方程为则， ， ∴， ， 当时，方程无解，不满足条件； 当时，方程有一解，满足条件； 当时，令， 化简得：无解，所以不满足条件； 所以满足条件的直线有两条和。 （2）把代入整理得：……（1） 当时，。 由0得且时，方程组有两解，直线与双曲线有两个交点。 若A、B在双曲线的