§ 已知三角函数值求角典例剖析(课时).docVIP

［例1］下列各式中正确命题的个数是 ①②arcsin0＝0 ③arcsin1＝④arcsin（－1）＝－ A．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 选题意图：考查反正弦定义的应用，熟悉用反正弦表示的特殊角. 解：①∵ ②由sin0＝0且0∈［－，］， ∴arcsin0＝0 ③由sin＝1且∈［－，］， ∴arcsin1＝ ④由sin（－）＝－1且－∈［－，］ ∴arcsin（－1）＝－ 答案：D 说明：当－1≤a≤1时，arcsina表示在［－，］内惟一的一个角且满足sin（arcsina）＝a 若0＜a＜1，则0＜arcsina＜， 若－1＜a＜0，则－＜arcsina＜0 ［例2］已知sinx＝，分别在［－、］、［0，2π］、R上，求角x（用反正弦表示角x）. 选题意图：考查用反正弦表示角的方法 解：(1)∵x∈［－，］且sinx＝ ∴x＝arcsin （2）∵x∈［0，2π］，由sinx＝＞0知x∈［0，π］ 当x∈［0，］时，x＝arcsin 当x∈［，π］时，x＝π－arcsin （3）∵sinx＝在［0，2π］上的x＝arcsin或x＝π－arcsin 又y＝sinx的周期为2π ∴sinx＝在R上的x＝arcsin＋2ｋπ或x＝π－arcsin＋2ｋπ，ｋ∈Z 即x＝（－1）karcsin＋ｋπ，ｋ∈Z． 说明：已知三角函数值求值、最好借助于函数的图象以及函数的单调性和周期性. ［例3］已知sinx＝－分别在［－，］、［0，2π］、R上，求角x(用反正弦表示x) 选题意图：考查用反正弦表示角的方法. 解：（1）∵sinx＝－且x∈［－，］ ∴x＝arcsin（－） （2）∵x∈（0，2π）由sinx＝－＜0知x∈［π，2π］ 当x∈［π，］时，x＝π－arcsin（－） 当x∈［，2π］时，x＝2π＋arcsin（－） （3）由sinx＝－在［0，2π］上的x＝π－arcsin（－）或x＝2π＋arcsin（－） 又y＝sinx的周期为2π ∴sinx＝－在R上的x＝π－arcsin（－）＋2ｋπ或x＝2π＋arcsin（－）＋ｋπ，ｋ∈Z 即x＝（－1）ｋarcsin（－）＋ｋπ，ｋ∈Z． 说明：通过例2、例3的解题过程的比较，便于总结sinx＝a（｜a｜＜1且a≠0分别在［－，］、［0，2π］、R上求x的方法和结果.