§ 线性方程组解的结构.docVIP

§6 线性方程组解的结构 在解决线性方程组有解的判别条件之后，进一步来讨论线性方程组解的结构.所谓解的结构问题就是解与解之间的关系问题. 一、齐次线性方程组的解的结构 设 (1) 是一齐次线性方程组，它的解所成的集合具有下面两个重要性质： 1. 两个解的和还是方程组的解. 2. 一个解的倍数还是方程组的解. 从几何上看，这两个性质是清楚的.在时，每个齐次方程表示一个过得点的平面.于是方程组的解，也就是这些平面的交点，如果不只是原点的话，就是一条过原点的直线或一个过原点的平面.以原点为起点，而端点在这样的直线或平面上的向量显然具有上述的性质. 对于齐次线性方程组，综合以上两点即得，解的线性组合还是方程组的解.这个性质说明了，如果方程组有几个解，那么这些解的所有可能的线性组合就给出了很多的解.基于这个事实，我们要问：齐次线性方程组的全部解是否能够通过它的有限的几个解的线性组合给出？ 定义17 齐次线性方程组(1)的一组解称为(1)的一个基础解系，如果 1）(1)的任一个解都能表成的线性组合； 2）线性无关. 应该注意，定义中的条件2)是为了保证基础解系中没有多余的解. 定理8 在齐次线性方程组有非零解的情况下，它有基础解系，并且基础解系所含解的个数等于，这里表示系数矩阵的秩(以下将看到，也就是自由未知量的个数). 定理的证明事实上就是一个具体找基础解系的方法. 由定义容易看出，任何一个线性无关的与某一个基础解系等价的向量组都是基础解系. 二、一般线性方程组的解的结构 如果把一般线性方程组 (9) 的常数项换成0，就得到齐次线性方程组(1). 齐次线性方程组(1)称为方程组(9)的导出组.方程组(9)的解与它的导出组(1)的之间有密切的关系： 1. 线性方程组(9)的两个解的差是它的导出组(1)的解. 2. 线性方程组(9)的一个解与它的导出组(1)的一个解之和还是这个线性方程组的一个解. 定理9 如果是线性方程组(9)的一个特解，那么线性方程组(9)的任一个解都可以表成 其中是导出组(1)的一个解.因此，对于线性方程组(9)的任一个特解，当取遍它的导出组的全部解时，(10)就给出(9)的全部解. 定理9说明了，为了找出一线性方程组的全部解，只要找出它的一个特殊的解以及它的导出组的全部解就行了.导出组是一个齐次线性方程组，在上面已经看到，一个齐次线性方程组的解的全体可以用基础解系来表示.因此，根据定理我们可以用导出组的基础解系来表出一般线性方程组的一般解；如果是线性方程组(9)的一个特解，是其导出组的一个基础解系，那么(9)的任一个解都可以表成 推论 在线性方程组(9)有解的条件下，解是唯一的充要条件是它的导出组(1)只有零解. 线性方程组的理论与解析几何中关于平面与直线的讨论有密切的关系.来看线性方程组 (11) (11)中每一个方程表示一个平面，线性方程组(11)有没有解的问题就相当于这两个平面有没有交点的问题.我们知道，两个平面只有在平行而不重合的情形没有交点.(11)的系数矩阵与增广矩阵分别是 与, 它们的秩可能是1或者2.有三个可能的情形： 1. 秩=秩=1.这就是的两行成比例，因而这两个平面平行.又因为的两行也成比例，所以这两个平面重合.方程组有解. 2.秩=2秩=1，.这就是说，这两个平面平行而不重合. 方程组无解. 3. 秩=2.这时的秩一定也是2.在几何上就是这两个平面不平行，因而一定相交. 方程组有解. 下面再来看看线性方程组的解的几何意义.设矩阵的秩为2，这时一般解中有一个自由未知量，譬如说是，一般解的形式为 (12) 从几何上看，两个不平行的平面相交在一条直线.把(12)改写一下就是直线的点向式方程 . 如果引入参数，令，(12)就成为 (13) 这就是直线的参数方程. (11)的导出方程组是 (14) 从几何上看，这是两个分别与(11)中平面平行的且过原点的平面，因而它们的交线过原点且与直线(12)平行.既然与直线(12)平行，也就是有相同的方向，所以这条直线的参数方程就是 (15) (13)与(15)正说明了线性方程组(11)与它的导出组(14)的解之间的关系. 例1 求线性方程组 的一个基础解系. 例2 设线性方程组 用它的导出齐次方程组的基础解系表示它的全部解.