§ 充分利用已有成果,灵活运用叠加原理.docVIP

PAGE  PAGE 7 §2 充分利用已有成果，灵活运用叠加原理 很多物理量都 具有可加性，这是探索客观规律的一条很重要的指导思想。根据可加性复杂问题化成几种简单的特殊情况并求出其结果，然后进行叠加(如代数的、矢量的叠加)即可求出复杂问题的结果。例如，在寻求向心力作功的一般规律，应先求出径向和法向的两种特殊情况下向心力作功的结果，至于一般情况，就是这两种结果的矢量和。同理根据可加性，可把一道复杂的习题，拆成几道简单的小题，并求出其结果，然后进行叠加，即可求香复杂习题的解。这是解题的一种重要技巧。 但是必须注意：只有符合独立作用者，才能进行叠加；如果拆开来和合起来的情况不同，即不能应用叠加原理。兹举例如下： 在半径为R的大圆板上挖去一个为的小圆板，它和大圆板相切(图3-2-1)。求剩下部分的质心。 ［分析］从剩下部分的对称性可见，它的质心一定在OX轴上，且坐标必取负植。 众所周知：大圆板(未挖去小圆板时)的质心坐标为，小圆板的质心坐标为。利用这个结果，巧用叠加原理即可方便地求出。 设薄板单位面积的质量为，完整的大圆板的质量，小圆板质量，把、m分别集中在、、把作负值处理，即可得： ［例2］一个内外半径分别为、、密度、高度为h的空心圆柱体，围绕它的本身轴心的转动惯量为多少？ ［解］根据叠加原理，空心圆柱体的转动惯量等于半径为和的两个实心圆柱体之转动惯量的差(图3-2-2)： 半径为的实心圆柱体的转动惯量为； 半径为R2的。 故空心圆柱体的转动惯量 这种解法，显然比从定义出发的积分计算要简单，而且物理概念也是十分明确的。另外，应用叠加原理时，不能简单地把叠加看成是相加，必须注意相减也是叠加，本例就是如此。 ［例3］同轴放置的两圆环，都均匀分布着电荷q，如两环半径为R，环心间距离为b ,求环心O处的电势。(图3-2-3)。 ［分析］环心O处的电势是由两带电环共同产生的，该点电势等于两环分别单独存在时在该点产生的电势之代数和，因此可用叠加原理。 ［解］已知均匀分布的电荷q，半径为R的圆环在其轴线上离环心间距为x的点，所产生的电势为： 当x分别为零、b 时，电势分别为： 所以O点电势为： ［讨论］如果两环不同轴是否可以运用叠加原理呢？不可以。因为两环相互之间存在静电感应，在这种情况下就不可能均匀带电了。而两环同轴放置时，虽然也存在静电感应，但不影响电荷的均匀分布。 ［例4］一个半径为R1、电荷密度为的实心球，偏心地挖去一个半径为R2的小球。如电荷仍然均匀分布，试求球外两球心延长线上一点P (离圆心O之间距为r)的电场强度(图3-2-4) ［分析］P点场强可以看为半径R1的实心球与半径为R2的小实心球在P点所产生的场强之差，即可应用叠加原理来解决这个难度较大的问题。 ［解］电荷均匀分布的球体在球外一点的场强为： 故在P点的场强： 式中： ［讨论］如果P点不在的延长线上，也可同样应用叠加原理，方便地求出，不过这时不是简单的代数和，而应该是矢量和了。 ［例5］求电路中R4的电压U(图3-2-5) ［解］此为线性电路，故可用叠加原理求解。 先求单独作用时在R4上产生的电压，此时应以短路代替。这样得到的线路中、并联和、并联组成分压器，故R4上的电压： 再计算单独作用时在R4上产生的电压，此时，应以短路替代。这样得到的线路等效于由R1和R3并联、R2和R4并联构成的单回路，因此： ［例6］如图3-2-6所示，半径为R的木球上绕有密集的细导线，线圈平面彼此平行，且以单层线圈盖住半个球面。设线圈的总匝数为N，通过的电流为I，求球心O处的磁感应强度。 ［分析］已知圆形载流导线在其轴线上点P的BP为： 的方向沿着x 轴的正方向。 本题是把N匝圆形载流导线在O点产生的加起来。有不同的加法： ［解法一］选取O点为原点的坐标系，使其z轴垂直于线圈平面，假设x轴、y轴都在纸面内(图3-2-6)。 与线圈平面平行的许多平面，将半球割成许多个平台。其中一个球台的底面中心处在x和，它的侧面上绕有线圈匝，即： 当线圈中通有电流I时，匝线圈在中心O处产生的磁感应强度为： 积分号里有x、y、θ三个变量，因此要统一积分变量后才能进行积分。 由图示的几何关系可知： 于是 这样，积分变量就统一由θ来表示了。积分限由积到。 在O点的磁感应强度 ［解法二］把N匝线圈对O点B的贡献逐匝相加和任一匝圆形线圈在O点产生的： 将周长分成N等分，即把对应的等分为O，，……，，， 上述两种解法比较可知，后一种解法方法较简单、概念好清楚。它主要巧用了。 ［讨论］如果线圈是按x轴向等间距排列，结果又如何呢？由于总??说，N匝线圈离O点的距离了，所以该点的B应该增大，读者自可证明。 ［例7］一均匀实心圆柱，半径为R。如图平行地挖去一个半径