§ 有理函数和可化为有理函数的不定积分.docVIP

第八章第三节第 PAGE 9页 §3 有理函数和可化为有理函数的不定积分 教学目的：掌握有理函数、三角函数及简单无理函数化有理函数积分的方法。 重点难点：重点与难点为有理函数的分解。 教学方法：讲练结合。 至此我们已经学得了一些最基本的积分方法．在此基础上，本节将讨论某些特殊类型的不定积分，这些不定积分无论怎样复杂，原则上都可按一定的步骤把它求出来． 一 有理函数的不定积分 有理函数是指由两个多项式函数的商所表示的函数，其一般形式为 ，　　　(1) 其中，为非负整数，与都是常数，且，． 若，则称它为真分式；若，则称它为假分式．由多项式的除法可知，假分式总能化为一个多项式与一个真分式之和．由于多项式的不定积分是容易求得的，因此只需研究真分式的不定积分，故设(1)为一有理真分式． 根据代数知识，有理真分式必定可以表示成???干个部分分式之和(称为部分分式分解)．因而问题归结为求那些部分分式的不定积分．为此，先把怎样分解部分分式的步骤简述如下(可与例1对照着做)： 第一步 对分母在实系数内作标准分解： ，（2） 其中均为自然数，而且 第二步 根据分母的各个因式分别写出与之相应的部分分式：对于每个形如的因式，它所对应的部分分式是 对每个形如的因式，它所对应的部分分式是 把所有部分分式加起来，使之等于．(至此，部分分式中的常数系数尚为待定的.) 第三步 确定待定系数：一般方法是将所有部分分式通分相加，所得分式的分母即为原分母，而其分子亦应与原分子恒等．于是，按同幂项系数必定相等，得到一组关于待定系数的线性方程，这组方程的解就是需要确定的系数． 例1 对作部分分式分解 解 按上述步骤依次执行如下： 部分分式分解的待定形式为 （3） 用乘上式两边，得一恒等式 + + 然后使等式两边同幂项系数相等，得到线性方程组： 求出它的解：，并代人(3)式，这便完成了的部分分式分解： 上述待定系数法有时可用较简便的方法去替代．例如可将的某些特定值(如的根)代人(4)式，以便得到一组较简单的方程，或直接求得某几个待定系数的值．对于上例，若分别用和代人(4)式，立即求得 于是（4）式简化成为 为继续求得，还可用的三个简单值代人上式，如令，相应得到 由此易得．这就同样确定了所有待定系数． 一旦完成了部分分式分解，最后求各个部分分式的不定积分．由以上讨论知道，任何有理真分式的不定积分都将归为求以下两种形式的不定积分： ；　　　． 对于，已知 对于，只要作适当换元(令)，便化为 　 （5） 其中． 当时，（5）式右边两个不定积分分别为 ， （6） 当时，（5）式右边第一个不定积分为 . 对于第二个不定积分，记 可用分部积分法导出递推公式如下： 经整理得到 （7） 重复使用递推公式(7)，最终归为计算，这已由(6)式给出. 把所有这些局部结果代回(5)式，并令，就完成了对不定积分（II）的计算． 求 解 在本题中，由于被积函数的分母只有单一因式，因此，部分分式分解能被简化为 现分别计算部分分式的不定积分如下： 由递推公式（7）,求得其中 于是得到 下面再介绍几类被积函数能变换为有理数的不定积分。 二 三角函数有理式的不定积分 由、及常数经过有限次四则运算所得到的函数称为关于、的有理式，并用表示。 是三角函数有理式的不定积分。一般通过变换，可把它化为有理函数的不定积分。这是因为 （8） (9)