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PAGE  PAGE 23 §3　一些方程的解法 解方程包括数字方程的文字系数方程，一般情况下都是先求出用来表示未知数的式子，然后代入数值计算。这样一方面可以减少繁杂的运算程序，另一面也可避免中间运算所可能发生的错误。但是对于某些数值简单的便于计算的问题，为了简化变换过程，有时也可以将已知值先代入原方程，然后利用方程的性质求解。 鉴于中学物理中的具体应用情况，这里我们只讨论代数方程和三角方程的某些解法。 1、代数方程 各种代数方程的基本解法，限于篇幅，不在此赘述。但有些方程，利用方程的基本性质或公式，　是不易直接求出其解的，采用其他方法。现就中学物理中所采用到的几种方法举例如下： m1 m2 F 图3－18 （1）应用换元法，化难为易 例3－18　两块质量为m1和m2的板用弹簧连在一起（图3－18），必须用多大的力压在上面那块板上，才可以使在力撤消后，上板跳起来，而恰使下板稍被提起？（弹簧的质量不计） m1 m2 F m1 m2 △L1 △L2 △L=0 EP=0 图3－19 解：要使外力撤消后，上板跳起来，而恰把下板稍稍提起，弹簧必须发生伸长形变，且伸长量。 把m1、m2和弹簧组成一个系统，并设弹簧的的弹性形变为零时，系统的重力势能和弹性势能均为零。如图3－19所示，依机械能守恒定律，有： 令： 得： 提取公因式，得 即 解得： 因为只求力的大小，取正根，得 说明：本例所解的方程属于形如的方程，可令y=f(x)，将原方程化为求解。 例3－19　某人在山上以20m/s的速度斜抛一个物体　，使物体落于山下之A点，A点与人的水平距离为100m，山高为150m 。求：物体着地的时间。（g=10m/s2) 解：设抛射角为θ，着地时间为t，坐标选择如图3－20所示。依抛射物体的规律，有： 　……　　① 　……　② 由①可得 ∵ y x v θ 0 A 图3－20 ∴（负值表示斜下抛） 两边平方，得　……　③ 令经，得 解得 即 取正根： 说明：本例中（3）是一个准二次方程，即形如的方程，此类方程的基本解法是：令，将原方程化为一元二次方程求解。 解答中为什么时间t的取值有两个，请读者自行分析。 例3－20　当一个电炉加??某线路的断路电压时，正好达到电炉的额定功率400W，当它接入该电路时，实际上只有324W的功率。问把这两个规格相同的电炉并入此电路，二个电炉共获得多大的功率？ 解：线路的断路电压即为该电路的电源电动势。当电炉接入电路时，外电路接通，由于存在线路电阻和电源内阻，因此也就不能获得额定电压，因而也就不能获得额定功率。 设两电炉并联时，消耗的总功率为P，每个电炉的电阻为R，电源的电动势为ε，内电阻为r，线路的电阻为R1。 依题目的表述和电功率的计算式，有： 　……　　① 　……　　② 　……　　③ 上面三个方程中，共有五个末知量，在一般情况下是不能求解的。但本题依据题意只需求出功率P，而其他末知量不必一一求出，因此可根据方程的特点，将某些末知量合并，以减少末知量的个数。 因②、③两方程均包含R1＋r，而①却不包含这两个末知量。令，则原方程为： 　……　　（1、/) ……　　（2/) ……　　（3/) 由（1/)可得：　……　　④ 　……　　⑤ 因④⑤两方程均包含，则有： 　……　（4/） 　……　　(5/) 令y=1+x，由（4/）得： 代入（5/），得： 说明：本例属于末知数个数多于方程个数的问题，解此类题目，可针对方程特点和题目要求，引入辅助末知量，并将原末知量合并，然后求解。 例3－21　甲、乙两人，由A、B两地相向而行，甲由A地出发的时间比乙由B地出发的时间迟6分钟，两人相遇时，乙比甲多走了120米，相遇后两人各用原来的速度前进，甲再经过8分钟到达B地，乙再经过9分钟到达A地。求：AB的距离与两人的速度。 解：假设两人相遇地点距A为x米，则距B为（x+120)米，甲的速度为，乙的速度为。 依据题目的表述，有： 令原方程为 解得： 即 　　（不合题意舍去） ∴AB的距离为：S＝2x+120=720+120=840m 甲的速度为： 乙的速度为： 说明：本例所解的方程属于形如的方程。可令，将原方程化为即的方程求解。 （2）应用比例法，化繁为简 所谓比例法，就是利用比例的概念及其性质求解有关方程。 例3－22　有两条导线，第一条的电阻R1＝2.0欧，第二条的电阻R2＝6.0欧，先把这两条导线串联接入电路，然后再改并联。求在这两种情况下当第一条导线放Q1＝1.5千卡的热量时，第二条导线放出的热量是多少？ 解：本题由于电压末知，因而不能直接应用焦耳－楞次定律计算，可依据串联、并联电路的特点，结合焦耳－楞次定律，确定等量关系。 串联时，通过两条导线的电流强度相等，通电时间也相等，根据可得：　　　　∴ 并联时两条导线