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PAGE 92 第2章 微分和微分法·导数的简单应用 PAGE 91 §2-8 曲线的曲率 PAGE 92 PAGE 91 §2-8 曲线的曲率 在§2-7中研究了平面曲线的弯曲方向(下凸或上凸)，而没有考虑到曲线的弯曲程度.我们将用曲线的曲率表示曲线的弯曲程度，在研究物体的运动(包括与运动有关的工程或机械设计)时，它有很重要的理论和实际意义. 直线段没有弯曲，所以认为它的曲率为. 一般情形下，如图2-38，弧的全曲率规定为起点处切线方向与终点处切线方向的偏差. 可是，弧的全曲率与弧的 全曲率相同，但前者显然比后者弯曲得更厉害一些.这就是说，弧的弯曲程度与弧本身的长度有关.因此，就像测量物理量或几何量时先确定一个单位那样，把单位长度弧的全曲率取作测量弧时曲率的单位，而把长度为的弧的全曲率同弧长的比值，称为该弧的平均曲率.它有点像质点运动的平均速度.像定义质点运动的瞬时速度那样，把极限 定义为弧在点处的曲率 (其中为弧的全曲率, 为弧的长度). A R 图2-39 O B B A 图2-38 C D 对于半径为的圆周来说(图2-39)，由于，所以圆周上任一点处的曲率都相等，且曲率为 图2-40 x O 曲率圆 y A 曲率圆 对于一般的弧来说，虽然弧上各点处的曲率可 能不尽相同，但是当弧上点处的曲率时， 我们可以设想在弧的凹方一侧有一个圆周，它与弧 在点相切(即有公切线)且半径.这样 的圆周就称为弧上点处的曲率圆；而它的圆心称 为弧上点处的曲率中心.如图2-40中那个抛物线 在原点或点的曲率圆. 请读者注意，因为曲率有可能是负数，而曲率半径要与曲率保持相同的正负号，所以曲率半径也有可能是负数.保留曲率或曲率半径的正负号，以便说明曲线的弯曲方向.在实际应用中，有时把绝对值称为曲率. 对于用方程表示的弧(图2-41)，由于 ， 所以，若有二阶导数，则 图2-41 x θ x y O 曲率圆 A 注意到，则弧上点 处的曲率为 (2-10) 当时，曲率半径为 (2-11) 其中，时，曲率和曲率半径都大于，说明曲线弧向上弯曲或曲率圆在弧的上方 (图2-41).反之，说明曲线弧向下弯曲或曲率圆在弧的下???. 例32 对于图2-40中那个抛物线，因为，所以 (曲率) , (曲率半径) 显然，原点处有最大曲率，最小曲率半径. 点处的曲率和曲率半径依次为 ， 可见，抛物线上离顶点越远，曲率越小，而曲率半径越大. 对于用参数方程表示的曲线弧，其中和有二阶导数且 [不妨认为] 因为 ， 把它们依次代入曲率公式和曲率半径公式，则得 (曲率公式) (2-12) (曲率半径公式) (2-13) 习 题 1.求下列曲线的曲率和曲率半径： ⑴(双曲线)； ⑵(抛物线)； ⑶. 答案：⑴；⑵；⑶. 2.在对数曲线上，求出曲率绝对值最大的点. 答案：. 3.极坐标系中曲线的曲率公式 证明：极坐标系中曲线的曲率公式为 [提示:] 并由此求下列曲线的曲率:  = 1 \* GB2 ⑴(阿基米德螺线)； ⑵ (对数螺线)； ⑶(心形线)； ⑷ (双纽线). 答案：⑴；⑵；⑶；⑷.