§- 向量及其运算.docVIP

§0-8 向量及其运算 为了描述物体(或质点)的运动，或表示具有方向的物理量(如作用力、速度、加速度等)，中学物理中就引入了向量(或称矢量)概念。它是既有大小又有方向的量，而只有大小但不具有方向性的量(如面积、体积、温度、密度等)称为标量(或纯量)。在几何上，就用带箭头的线段(有向线段)表示向量，箭头指向表示它的方向，线段的长度表示它的大小。书写时，常用带箭头的字母(如或)或黑体字母表示它，而用||或||表示它的大小。当需要考虑向量的起(始)点与终点时，就用带箭头的两个字母(如)表示它，其中为起点，为终点，而用表示它的大小。 图0-34 起点和终点都不改变的向量称为固定向量；不改变大小和方向而 可以平行移动的向量称为平动向量（*） 向量代数中称它为“自由向量”. 。我们约定：一个向量平行地移 动还是它自身。因此，两向量与称为相等或相同(记成), 当且仅当它们的大小相等(即)且方向相同(图0-34)。 1.向量的几何运算 为了对向量进行运算，引入了一个特殊的向量(，方向任意)，称它为零向量。 不平行的两个非零向量与的和向量(记成)来源于两力的合成。把向量或向量平行移动使它们的起点重合，再以它们为相邻边做出平行四边形(图0-35)，则它的对角线就是和向量(平行四边形法则)。 图0-35 O M 也可以这样作出和向量：把向量平行移动，使它的起点与向量的终点重合(图5-2)，则把的起点与的终点连结起来的“封口向量” 也是和向量(三角形法则)。对于任何向量，规定 从图5-2可以看出， （加法交换律） 三个向量相加时，根据三角形法则(图0-36),有 (加法结合律) 于是，三个向量、、的和向量可以记成(不需加括号) 图0-36 图0-37 与向量的大小相等而方向相反的向量记成()(图0-37)， 称它为向量的反向量，并定义向量减去向量的差向量为 因此，它是图0-37中那个平行四边形的另一条对角线，方向指向的终点。 根据平面几何中的一个定理(三角形一边的长度不大于另两边长度的和，不小于另两边长度的差)，可得 (三角不等式) 实数绝对值的不等式 有时也称为“三角不等式”，就是因为它们有相似之处。 实数与向量的乘积也是一个向量(图0-38)，记成： 图0-38 当时，与同方向且大小为； 当时，与反方向且大小为； 当时，(零向量)。 因此，总有 而且，对于任意实数与，有向量的代数运算规则： （关于数的结合律） (分配律) 根据上述定义和运算规则，可得 。 所以，向量的运算简直就像数的运算一样。 若一个向量的长度等于，则称它为单位向量。对于任一个非零向量，与它同方向的单位向量记成；因为 所以 (有时记成)， 或 。 2.向量的坐标 图0-40 O A B xB xA yA y yB x 假如讨论的向量位于数轴上(称为一维向量)，则向量的坐标就定义为(图0-39)，记成。 图0-39 x 类似地，假若讨论的向量在直角坐标平面上(称为二维向量)，则向量的坐标定义为(图0-40)，记成。 总之，不管是在数轴上，还是在直角坐标平面上，向量的坐标是： 终点坐标减去起点坐标的差(对应坐标相减)。特别，起点在原点的时向量的坐标就是它的终点的坐标。 3.向量的分解 图0-41 O x y 在中学物理中，有时需要把一个作用力分解成各个分力，且它等于各分力之和。而对于(抽象的)向量，也可以把它沿确定轴分解成各个分量，且它等于这些分量之和。特别，这里讨论直角坐标系中向量沿坐标轴的分解问题。 起自原点的向量，由它的终点坐标唯一确定， 所以就把起自原点的向量与它的终点 的坐标看作是等同的，即认为 这样的向量以后称为径向量。 有两个基本单位向量(图0-41)，依次记成，根据三角形法则或平行四边形法则，则径向量(图0-41)，并称右端的表示式为径向量沿坐标轴的分解。 4.向量的坐标运算 设有向量，为实数，则 【乘各个坐标】 若另有向量，则 【对应坐标相加】 因此， 数乘向量时,只需要用这个数去乘向量的各个坐标； 两个向量相加时,只需要把它们的坐标依次相加。 因为向量平行移动时，只改变向量的位置，不改变向量的坐标，所以上述向量的运算规则对于起点不在坐标原点的向量也成立。 看我做题 1.证明：或 证 因为，所以或 2.已知平行四边形ABCD对角线。试用和分别表示向量： 解 因为平行四边形的对角线相互平分，所以 A C B D 第2题图 ， 又，所以 ， A B C E F 第3题图 3.用向量法证明几何命题：三角形两边中点的连线平行于第三边，且长度等于第三边的一半。 证 如图示，，所以 且。 由前者知，；由后者知，中点联机的长度等于第三边的一半。