§-全微分及其应用 - 副本.docVIP

8.3全微分及其应用 在求一元函数的增量时，可以用微分来近似表示.当很小时，用微分作为的近似值，所产生的误差为的高阶无穷小.将此方法推广到二元函数上，建立和微分概念类似的全微分概念. 8.3.1 全微分的定义 1.全微分的概念 一般地，设函数在点的某邻域内有定义，分别给自变量以改变量，,则称为函数在点处相对于自变量的改变量的全增量． 定义.设函数在点的某邻域内有定义，如果在点处相对于自变量的改变量、的全增量能表示成，其中是与无关的数，，为的高阶无穷小，则称函数在点处可微，且称为在点处的全微分，记作或或，即 . 可以证明： 定理8.3.1若在点可微，则二元函数的两个偏导数和一定存在，且有和. 所以，. 定理8.3.2若二元函数的两个偏导数和在点存在且连续，则 在点一定可微. 现将二元函数在点处的微分推广到任一点处的微分，有.习惯上分别记作和，于是二元函数的全微分又可记为 . 二元函数全微分的概念可以推广到三元和三元以上的函数。例如，如果三元函数的三个偏导数都连续，则. 例8.3.1求函数的全微分. 解：，. 的定义域为，在定义域内都是连续函数，因此存在，且有. 例8.3.2求函数在处当、时的全微分. 解：，， ，， 所以 . 8.3.2 全微分在近似计算中的应用 设函数在点 处可微，则函数的全增量与全微分之差是比高阶的无穷小，所以当和都很小时，全增量可以近似地用全微分代替，即 例8.3.3有一正圆锥体，其底面半径r由60cm增大到60.1cm，高h由90cm减小到89.5cm，求体积V改变量的近似值． 解:圆锥体体积公式为 ,. 记 ，，， ,， . 即此圆锥体的体积约减少了240． 例8.3.4求的近似值． 解:设，取 因此，. 习题8-3 1. 求函数在点处当时的全增量及全微分． 2. 求下列函数的全微分 (1) ；(2) ； (3)（）；(4). 3．求下列近似值 （1）；（2）. 4.设有一无盖的圆柱形容器，其侧壁和底的厚度都是，内径为，深为，求此容器外壳体积的近似值.