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§. 幂级数
§4.2 幂级数
幂级数 称上的全纯函数项级数为幂级数.不妨设.
定义4.2.1、定理4.2.2和定理4.2.3(Abel第一定理) 对于幂级数,令,则
(ⅰ) 当时,该幂级数仅在处收敛；
(ⅱ) 当时,该幂级数在上绝对并且内闭一致收敛；
(ⅲ) 当时,该幂级数在上绝对并且内闭一致收敛；
在上处处发散.
称和分别为幂级数的收敛半径和收敛圆盘.
证: (ⅰ)设.因为,故存在的子列满足
, 或 .
这说明发散.于是,仅在处收敛.
(ⅱ) 固定.因为,故,使得成立不等式.于是成立不等式.这说明在上绝对并且一致收敛,从而在上绝对并且内闭一致收敛.
(ⅲ) 固定,再取.因为,故,使得成立不等式.于是成立不等式.这说明在上绝对并且一致
收敛,从而在上绝对并且内闭一致收敛.若,则存在的
子列满足,或.这说明发散.#
定理4.2.4 幂级数的和函数在其收敛圆盘上全纯.
证: 幂级数在其收敛圆盘上绝对并且内闭一致收敛到和函数,再由Weierstrass定理,便知结论成立.#
Abel第一定理没有解决幂级数在其收敛圆周上的敛散性问题.下
面的几个例子表明幂级数在其收敛圆周上的敛散性是很复杂的.
例4.2.5 幂级数在其收敛圆周上处处发散.
例4.2.6 幂级数在其收敛圆周上一致收敛.
例4.2.7 幂级数的收敛圆周是,在处发散；在上收敛.
证: 显然在处发散.当时,由Dirichlet判别法,级数收敛.#
定理4.2.9(Abel第二定理) 设是幂级数在其收敛圆盘上的和函数,是收敛圆周上的点,是如下图所示的区域.若收敛到,则 .
证: 取,只需证在闭扇形域上一致收敛,即在上一致收敛于零.,使得,成立.于是,当,并且时,就有
.
(余弦定理)
.#
例4.2.10 求幂级数在其收敛点集上的和函数.
解: 在上全纯,并且,故
, .(满足的分支)
由于在上收敛,根据Abel第二定理,就有
,.
注意到,
,便得到
, , .
特别地,分别令和,则有
, .#
习题4.2() 1,2(ⅰ,ⅲ),3,4,7,9,11.
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