§. 复数项级数--.docVIP

PAGE  PAGE 16 第四章 解析函数的级数表示 前面我们用微分、积分可以研究解析函数的性质；实际上级数也是研究解析函数的一种有效的工具.在本章,我们将讨论复数项级数，讨论复变函数项级数；重点利用解析函数的级数（泰勒级数与洛朗级数）表示导出解析函数的一些良好的性质. §4.1 复数项级数 教学目的：1．理解复数序列与复数项级数的定义； 2.掌握复数项级数的基本性质以及复数序列(级数)与实 数列(级数)敛散性的关系，能正确判断复数项级数的敛散 性． 教学方法：启发式讲授与指导练习相结合 教学过程： §4.1.1 复数序列的极限 通常, 把按照自然数的顺序排列的一列复数, , …, , …, 称为复数列, 简记为．其中称为通项． 【定义】※设是一个复数列, 为一个复常数, 若对, （正整数）, 使得当时, 总有，则称 当时收敛于(或收敛(于), 而称为当时的极限, 记为 ．若不存在, 则称发散或不收敛． 注: 定义的几何意义: 等价于任给的一个邻域, 在此邻域之外至多含 有的有限项 （如图4.1(a)）； 从上述两个定义 不难看出, 复数序 列的极限与实数列的极限, 在形式上是完全相似的． 因此, 类似于实数列极限的有关结果, 我们还可平行地给出复数列极限的相应结果,如极限的四则运算法则, 收敛数列的有界性, 数列收敛的柯西准则等. 【定理4.1】（复数列与实数列收敛的关系） 记, ,,… , 则 ． 证：此命题注意到下面的不等式立即可得 ，． 例1 求下列极限 (1) ； (2) ； (3) ． 解 (1) 因 , , 所以 ． (2) 因, 不存在, 所以不存在． (3) 因, 而与均不存在, 所以 不存在． 例2 判断下列复序列的敛散性 (1) ； （2）； （3）; (4) ; (5) . （6） （7） （8） 解 (1)因为 ,所以收敛于0. (2) , 收敛于1. (3)因为 , 所以 收敛于. (4)因为 , 所以收敛于1. (5)因为 , 所以发散. （6）因为（为整数），所以发散. 故 发散. （7）时），收敛. （8）设，则 不存在，所以发散. 练习： 判断下列序列极限是否存在,若存在,求出其极限 (1)(收敛)；（2）(收敛)； （3）(发撒)；（4）(发撒)； （5）（收敛）. §4.1.2 复数项级数 【复习】 1.在高等数学??：几何级数收敛； P-级数收敛. 2.正项级数敛散的常用判别法：比较法，比较的极限形式，比值（达朗贝尔）判别法. 根值（柯西）判别法. 3.注意：级数添加或去掉有限项不改变其敛散性. 设是一个复数序列, 则的各项和： 称为复数项级数, 记为 ． 【定义2】※设是一个复数项级数, 记称为 的(前n项)部分和.若{}收敛于, 即, 则称 收敛于, 并且也称为的和, 记为 ． 若{}发散, 则称发散． 【定理4.2】收敛的充分必要条件是两个实级数,分别收敛． 例2 当时，判断级数是否收敛？ 解 级数部分和为 ； 由于 ，所以；， 从而 ．存在， 故 当时，判断级数收敛且和为 ． 类似于实级数的绝对收敛与条件收敛, 我们也有 【定义3】※若收敛, 则称原级数收敛且绝对收敛； 若收敛但不绝对收敛, 则称条件收敛． 注意： 因是正项级数, 所以它的敛散性可用正项级数的理论来判别． 【定理4.3】级数收敛的必要条件． 证明：由级数收敛可以推出 ,都收敛； 再由实数项级数 ,收敛的必要条件知 ． 注意：1. 由定义2及 可得收敛时, 则 , 但反之不成立. 例如, 但发散． 【定理4.4】 (1) 若绝对收敛, 则收敛, 但反过来不成立； (2) 设,则 绝对收敛两个实级数 , 都绝对收敛． 证明 (1) 因为绝对收敛, 即收敛, 又因为 ，，有正项级数的比较判别法知 收敛，从而正项级数 收敛. 故 收敛. 反例：收敛，但 发散. (2) 由（1）的证明知 绝对收敛时收敛. 反之，绝对收敛时，收敛. 因为,所以由正项级数比较法知 收敛. 例3 讨论下列级数的敛散性．并判断是否绝对收敛 （1） ； (2) ；（3）； （4）；（5）；（6）； （7）；（8）；（9）． 解 （1） 因为发散, 收敛, 所以 发散． （2）的实部与虚部两级数都收敛，但级数 发散， 故级数条件收敛． （3）由于为收敛的P－级数， 故收敛且绝对收敛． （4）因为发散，所以原级数发散. （5）因为， 所以 绝对收敛. （6）因为条件收敛且 收敛, 所以条件收敛． （7）因为 当时发散，即 ， 所以级数发散． （8）因为，所以， 所以 发散. (9)因为 当时发散