§. 探索三角形全等的条件.docVIP

三角形全等的判定(一) 一、教学目的和要求 理解并掌握三角形全等的判定公理1，能准确找到判定公理1的条件，并熟练运用。 二、教学重点和难点 重点：能准确应用判定公理1的条件。 难点：在条件不明显的情况下找出较为隐蔽的条件，从而运用判定公理1。 三、教学过程 (一)复习、引入 提问： 1. 上一节课已经学习了判定公理1，请同学们回忆并叙述（边、角、边） 2. 证明三角形全等时，怎样找到公理1的条件？（两条对应边及夹角相等） 3. 三角形全等的性质是什么？（对应边相等，对应角相等） 练习： 1. 已知：如图57，DC⊥CA，DA⊥CA，CD=AB，CB=AE 求证：△BCD≌△EAB 证明：∵DC⊥CA，EA⊥CA (已知) ∴∠C=∠A=90° (垂直定义) 在△BCD≌△EAB中 ∴△BCD≌△EAB (SAS) 上面这个练习同学们能较快作出来，因为所给条件比较明显。但有些题目已知中隐含着证明全等的条件，需要用以前学过的知识。比如：平行线性质；垂直定义；等量加等量和相等；或者由一次全等推出对应边相等、对应角相等，再由此证出所需三角形全等，也就是要证两次全等。下面看几个例题，加强这方面训练。 (二)新课 例1 已知：如图58，EB⊥CD，BE=DE，AE=CE， 求证：DA?BC 分析：由已知条件，BE=DE，AE=CE，已有两组对应边相等，再找夹角相等就可以了，可以根据已知BE⊥CD，推出∠BEC=∠DEA=90°，由此可以证出△BEC≌△DEA。由全等三角形知对应角相等，则∠B＝∠D，再由∠B＋∠C=90°可推出∠D＋∠C=90°，进而可证明DA⊥BC。 证明：延长DA与BC交于F点. ∵BE⊥CD ∴∠BEC=∠DEA=90°(垂直定义) 在△BEC和△DEA中 ∴△BEC≌△DEA (SAS) ∴∠B＝∠D (全等三角形对应角相等) ∵∠B＋∠C=90°(三角形内角和为180°) ∴∠D＋∠C=90° (等量代换) ∴∠CFD=90° (三角形内角和定理) 即DA?BC(垂直定义) 例2 已知：如图59，△ABC和△DEC都是等边三角形，各角都等于60°。 求证：AD=BE 分析：可先证△ACD与△BCE全等。已知AC=BC，CD=CE，显然应设法证夹角∠ACD与夹角∠BCE相等。 证明：∵△ABC△BCE都是等边三角形(已知) ∴∠ACB=∠DCE=60°(等边三角形各角等于60°) ∴∠ACB－∠DCB=∠DCE－∠DCB (等量减等量，差相等) 即∠ACD＝∠BCE 在△ADC与△BEC中 ∴△ADC≌△BEC (SAS) ∴AD=BE (全等三角形对应边相等) 例3 已知：如图60，AB=AD，BC=CD，∠ABC=∠ADC。 求证：OB=OD 分析：要证出OB=OD，需要在△BCO和△DCO中证出此两个三角形全等，但需要有∠DCO=∠BCO。这两角相等又可以从△ABC≌△ADC得到。因此需要证明两次全等。 证明：在△ABC和△ADC中 ∴△ABC≌△ADC(SAS) ∴∠DCO=∠BCO(全等三角形对应角相等) 在△BCO和△DCO中 ∴△BCO≌△DCO(SAS) ∴OB=OD(全等三角形对应边相等) 例4 已知：如图61，点A、B、C、D在同一条直线上，AB=CD，CE∥DF且CE=DF。 求证：∠A与∠1互补， 分析：要证出∠A与∠1互补，可以从平行线入手，若想证出AE∥BF，应有∠A=∠FBD，证明这两个角相等应联想到证明△AEC≌△BFD。 证明：∵点A、B、C、D在同一条直线上，又AB=CD ∴AB＋BC=CD＋BC（等量加等量和相等） 即AC=BD ∵CE∥DF ∴∠ACE=∠D(两直线平行同位角相等) 在△AEC≌△BFD中 ∴△ACE≌△BDF (SAS) ∴∠A=∠FBD(全等三角形对应角相等） ∴AE∥BF(同位角相等，两直线平行） ∴∠A与∠1互补 (两条直线平行，同旁内角互补) (三)巩固练习 1. 已知：如图62，AC、BD互相平分于O。 求证：△AOB≌△COD