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PAGE  PAGE 24 §3.6 线性方程组解的结构 一、齐次线性方程组解的结构 （1） 1．解的性质 性质1 方程组（1）的两个解的和还是（1）的解. 证明 设与是方程组⑴的两个解.则 两个解的和为 (2) 代入方程组，得 即⑵是方程组的解. 证毕 性质2 方程组（1）的一个解的倍数还是（1）的解； 证明 设是⑴的一个解，因为 　 所以还是方程组的解. 证毕 由性质1和性质2得： 性质3 方程组（1）的解的任一线性组合还是（1）的解． 2．基础解系 定义 齐次线性方程组（1）的一组解，若满足 1) 线性无关； 2)（1）的任一解可由线性表出． 则称为（1）的一个基础解系． 3 ．基础解系的存在性 定理1 在齐次线性方程组有非零解的情况下，它有基础解系，并且基础解系所含解向量的个数等于，其中． 证：若，不防设 ，则方程组（1）与方程组 （2） 同解,用组数 (1,0,…,0), (0,1,…,0), …, (0,0,…,1)代入自由未知量，就得到（2）的解，也就是（1）的个解 则为方程组(1)的一个基础解系. ⅰ) 线性无关 事实上，若 ，即 比较最后n－r个分量，得 . 因此, 线性无关. ⅱ) 任取方程组（1）的一个解，可由线性表出． 事实上，由是方程组（1）的解知： 也为（1）的解，又 =（） 它与的最后个分量相同，即自由未知量的值相同，所以它们为 同一个解，即 ． 由ⅰ) ⅱ)知，为（1）的一个基础解系． 证毕 推论 任一与方程组（1）的某一基础解系等价的线性无关的向量组都是方程组（1）的基础解系． 证明：为（1）的一个基础解系， 线性无关，且与等价， 则，且可由线性表出，即也为（１）的解向量． 任取方程组（１）的一个解向量，则可由线性表出，从而可由线性表出． 又线性无关，所以也是基础解系．证毕 4 .基础解系的求法 我们只要找到齐次线性方程组的个自由未知量，就可以获得它的基础解系.具体地说，我们先通过初等行变换把系数矩阵化为阶梯形，那么阶梯形的非零行数就是系数矩阵的秩.把每一个非零行最左端的未知量保留在方程组的左端，其余个未知量移到等式右端，再令右端个未知量其中的一个为1，其余为零，这样可以得到个解向量，这个解向量构成了方程组的基础解系. 方程组（1）的任一解即通解可表为 例1 求齐次线性方程组 的一个基础解系。 解 用初等行变换把系数矩阵化为阶梯形： ， 于是r，基础解系中有 r=5-3=2个向量。 阶梯形矩阵所对应的方程组为 移项，得 取，得一个解向量 ； 取得另一解向量 . 即为方程组的一个基础解系，方程组的全部解可表示为 非齐次线性方程组解的结构 对于非齐次线性方程组解 （3） 令,得 （4） 称（4）为（3）的导出组． １．解的性质 性质1 设、为方程组（3）的两个解，则为其导出组（4）的解． 证明 = =是方程组（3）的两个解，即 它们的差是 -= 显然有 . 即-=是导出组(4)的一个解. 证毕 性质2 设为方程组（3）的一个解，为其导出组（4）的解，则仍为方程组（3）的解． 证明 设=是方程组(3)的一个解，即 又设=是导出组(4)的一个解, 即 显然 证毕 ２、解的结构 定理 若为（3）的一个特解，则方程组（3）的任一解皆可表成，其中为其导出组（4）的一个解.从而有：方程组（3）的一般解为 其中为（3）的一个特解， 为导出组（4）的一个基础解系． 证明　显然 有性质１知，是导出组(4)的一个解，令　 = 则 . 证毕 推论 方程组（3）在有解的条件下，有唯一解（3）的导出组（4）只有零解． ３．求非齐次线性方程组（3）的一般解的步骤： 1）求出其导出组的基础解系； 2）求出其一个特解； 3）方程组（3）的一般解为． 例２　求解方程组 解：可见，方程组有解，并有 取，则 ，即得原方程组的一个特解　　． 下面求导出组的基础解系： 导出组与 同解． 取，得； 取，得． 于是原方程组的通解为　　 ． 三、典型例题 例1（高数二） 取何值时,方程组无解,有唯一解或有无穷多解？并在有无穷多解时写出