§.全微分与梯度.docVIP

PAGE 7 §8.4全微分与梯度 （一）全微分的概念 复习：一元函数的微分的定义 设函数在点某邻域内有定义，若在点的增量可表示为，其中无关，当时是的高阶无穷小，则称在点可微，其微分。 二元函数全微分的定义 设函数在点的某邻域内有定义， 为这邻域内的任意一点，则称 为函数在点对应于自变量增量的全增量。 定义：如果 在点的全增量 可表示为 ，（其中不依赖于而仅与有关，，则称函数在点可微分，而 称为函数在点处的全微分，记为，即 。 如果函数在区域每一点都可微分，则称函数在区域可微分。 全微分的两个性质：（1）； （2）。 2．定理1 若函数在点处可微分， 则函数在点 处连续。 证明：∵在点可微分， ∴，∴。 ∵， ∴函数在点处连续。 由定理1可知，若函数在点处不连续，则在点处必不可微。 如???在点存在全微分，那么A＝？，B＝？ 3．定理2（可微的必要条件） 如果函数在点可微分，则该函数在点的偏导数，必存在，且. 证明：∵在点可微， ∴ ， 当时，， ， ， ∴ 。 同理 故。 规定，，则 或 。 若记，， 则。 称为在点处的梯度，记为，即 。 一般地，若函数，在处可微，则在点处有 ， ， ，。 规定，，则 或 。 一元函数中，可微与可导是等价的。但在二元函数中，偏导数存在是可微的必要条件，而非充分条件，即可微可导。 当偏导数存在时可得表达式，但它不一定是全微分，必须加上“是比无穷小的条件”。 例1．讨论函数在点处是否可微？ 解：在点处， ，。 而， ， 当点沿直线趋于点时， ∵，它不能随而趋向于0， ∴不是的高阶无穷小， 故不是在点处的全微分，即函数在点处不可微。 4．定理3（可微的充分条件） 若函数的偏导数，在点连续，则函数在点处可微分。 证明： ， ， ∴ 故由定义知在点可微。 注意：，在点连续只是在点可微的充分条件，但不是必要条件。 对于二元函数，有 偏导数连续函数可微偏导数存在 函数连续 常见的二元函数一般都满足定理3的条件，从而它们都是可微函数。 二元函数全微分的定义以及可微分的必要条件和充分条件，可以完全类似地推广到三元和三元以上的多元函数。 例如三元函数 ，若三个偏导数连续，则它可微且全微分为 。 例2．设 证明： （1）在点的邻域内有偏导数，； （2）偏导数，在点处不连续； （3）函数在点处可微。 证明：（1）当时，有 ， 同理可得，， 当时，有， ， 同理可得。 所以在点的邻域内有偏导数，。 （2）∵ 当点沿直线趋向于点时，有 ， 不存在， ∴不存在，因而在点处不连续。 同理可证，在点处不连续。 （3）∵， ， ∴，即函数在点处可微。 例3．求函数在点处的全微分和梯度。 解：，， ，， ，。 例4．求函数的全微分。 解：， ， ， 。