§.实数与向量相乘.docVIP

PAGE  PAGE 7 §24.6实数与向量相乘（1） 普陀区课题组 教学目标： 1．理解实数与向量相乘的意义，掌握实数与向量相乘的表示方法． 2．对于给定的一个非零实数和一个非零向量，能画出它们相乘所得的向量；并能联系已学过的几何知识，正确地用已知向量表示与它平行的向量． 3．在从数的运算到向量的运算的认识过程中体会类比的数学思想． 教学重点：实数与向量相乘的表示方法和画图方法． 教学难点：向量在几何中的运用． 教学过程： 教师活动学生活动设计意图一、复习引入 问1：我们在八年级时学习过一类新的量，——向量，请同学们回忆一下，什么叫向量？ 问2：什么是相等向量、相反向量？ 问3：我们还学习过向量的加法运算，记得向量加法的多边形法则吗？ 二、新课学习 1、探索正整数、整数、有理数与向量相乘 问： （其中为正整数） 我们知道，几个相同的数连加的运算是乘法，那么几个相同的向量连加，能否像几个相同的数连加一样，把它表示为乘法运算的形式呢？ 探索：已知非零向量，对于个相加是否有类似的结果？ （1）？ 师：（通过课件操作演示） 根据向量加法运算的法则，可知与的方向相同，且的长度是长度的倍，即． （2）？ （3）如图，？ 归纳：一般地，设为正整数，为向量， （1）表示个相加； （2）表示个相加． （3）当为正整数时，表示与同向且长度为的向量． 2、实数与向量相乘的运算 基于以上认识，我们规定向量的另一种新的运算，即实数与向量相乘的运算： 问1：设是一个实数，是向量，那么与相乘所得的结果是什么？ 师：我们把积记作． 注意： （1）书写时，规定应把实数写在向量前面并省略乘号； （2）不要将表示向量的箭头写在数字上面． 问2：对于，它的长度和方向，与的关系？ 练习：（课后练习2） 以非零向量为参照，分别说出向量4、-、的方向和长度． 问3：与有怎样的位置关系？ 【小结】 1、实数与向量相乘的结果仍是一个向量． 2、与的关系： 位置关系：∥ 数量关系： 例1：已知非零向量??求作并指出他们的长度和方向． 解：在平面内任取一点O，作． 在射线OA上，取，则． 在射线OA的反向延长线上， 取，则. 师：无理数与向量相乘时，通常对这个无理数取它的近似值． 练习：（课后练习1） 已知非零向量，求作：（1）；（2）. 3、实数与向量相乘的运用 例2：已知在平行四边形ABCD中，E、F、G、H分别为各边的中点，EG与FH相交于点O．设，试用向量或表示向量，并写出图中与向量相等的向量． 分析： 问1：请将已知条件标在图中． 问2：EG、FH将ABCD分成了四个小的平行四边形，边在数量上有什么关系？ 问3：所求向量与已知向量有什么关系？ 问4：与相等的向量如何寻找？ A B E C D 例3：已知点D、E分别在的边AB、AC上，DE∥BC，7AD=4AB，试用向量表示向量． 问1：根据已知条件中的平行，可以得到什么？ 问2：将7AD=4AB这个等积式转化为比例式？ 问3：与的方向如何？ 解：∵ DE∥BC， ∴ （三角形一边的平行线性质定理）． 得 ． ∵， 与同向． ∴ ． 【小结】 根据一个向量与已知向量所具有的平行关系和长度关系，可以把这个向量表示为一个实数与已知向量相乘的积． 实数与向量相乘的定义，既能体现几何图形中的位置关系又能体现数量关系． 三、巩固练习 如图，在平行四边形ABCD中，E、F、G、H分别为各边的中点．设，，试用向量、表示向量、和． 四、课堂小结 本节课主要学习了什么，有何收获？ 教师补充： 实数与向量相乘的定义，既能体现几何图形中的位置关系又能体现数量关系． 五、布置作业 练习册24.6（1）  答1：既有大小，又有方向的量叫做向量． 答2：方向相同且长度相等的两个向量叫做相等向量． 方向相反且长度相等的两个向量叫做相反向量． 答3：一般地，几个向量相加，可把这几个向量顺次首尾相接，那么它们的和向量是以第一个向量为起点，最后一个向量的终点为终点的向量． 答：． 表示个相加，即数与相乘． 答：． 个的和，表示数与的积． 答：． 答：． 答1：所得的积是一个向量． 答2： （1）当，且时， 的长度： 的方向： （2）当或时，那么． 答：与向量方向相同，长度为；与向量方向相反，长度为；与向量方向相同，长度为． 答3：∥． 答：与方向相同，长度为 ；与方向相反，长度为． 学生独立完成． 答1： 答2：， 答3：与同方向，且长度相等；与反方向，长度相等． 答4：方向相同，长度相等．图中可找出五个． 解： ； ． 与相等的向量有：、、、、． 答1：比例线段，即． 答2：． 答3：与同向． 解： ； ． ． 预设： 1、一般地，设为正整数，为向量 （1）表示个相加； （2）表示个相加． （3）当为正