§.定积分的简单应用.docVIP

PAGE  PAGE - 5 - §1.7 定积分的简单应用（一） 一：教学目标　 进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方法； 让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理； 初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法； 体会定积分在物理中应用（变速直线运动的路程、变力沿直线做功）。 二：教学重难点　　 重点 曲边梯形面积的求法 难点　定积分求体积以及在物理中应用　 三：教学过程： 定积分的应用 （一）利用定积分求平面图形的面积 例1．计算由两条抛物线和所围成的图形的面积. A B C D O 解：，所以两曲线的交点为（0，0）、（1，1），面积S=，所以= eq \f(1,3)  例2．计算由直线，曲线以及x轴所围图形的面积S. 解：作出直线，曲线的草图，所求面积为图阴影部分的面积． 解方程组 得直线与曲线的交点的坐标为（8,4) . 直线与x轴的交点为（4,0). 因此，所求图形的面积为S=S1+S2 . 例3.求曲线与直线轴所围成的图形面积。 答案： 练习 1、求直线与抛物线所围成的图形面积。 答案： 2、求由抛物线及其在点M（0，－3） 和N（3，0）处的两条切线所围成的图形的面积。 略解：，切线方程分别为、 ，则所求图形的面积为 3、求曲线与曲线以及轴所围成的图形面积。 略解：所求图形的面积为 x x O y=x2 A B C 4、在曲线上的某点A处作一切线使之与曲线以及轴所围成的面积为.试求：切点A的坐标以及切线方程. 略解：如图由题可设切点坐标为，则切线方程 为，切线与轴的交点坐标为 ，则由题可知有 ，所以切点坐标与切线方程分别为 总结：1、定积分的几何意义是：、轴所围成的图形的面积的代数和，即. 2、求曲边梯形面积的方法与步骤： 画图，并将图形分割为若干个曲边梯形； 对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限； 确定被积函数； 求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和。 3、几种常见的曲边梯形面积的计算方法： （1）型区域： ①由一条曲线与直线以及轴所围成的曲边梯形的面积：（如图（1））； ②由一条曲线与直???以及轴所围成的曲边梯形的面积：（如图（2））； ③由两条曲线与直线 y a b x y a b x y a b x 所围成的曲边梯形的面积：（如图（3））； 图（1） 图（2） 图（3） （2）型区域： ①由一条曲线与直线以及轴所围成的曲边梯形的面积,可由得，然后利用求出（如图（4））； ②由一条曲线与直线以及轴所围成的曲边梯形的面积，可由先求出，然后利用求出（如图（5））； y a b x y a b x y a b x ③由两条曲线与直线所围成的曲边梯形的面积，可由先分别求出，，然后利用求出（如图（6））； 图（4） 图（5） 图（6） 2．求平面曲线的弧长 设曲线AB方程为，函数在区间上可导，且连续，则曲线AB的弧长为 . 3．求旋转体的体积和侧面积 由曲线，直线及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转而成的旋转体体积为 . 其侧面积为 . 四：课堂小结 本节课主要学习了利用定积分求一些曲边图形的面积与体积，即定积分在几何中应用，要掌握几种常见图形面积的求法，并且要注意定积分的几何意义，不能等同于图形的面积，要注意微积分的基本思想的应用与理解。 五：教后反思 §1.7 定积分的简单应用（二） 一：教学目标　 进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方法； 让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理； 初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法； 体会定积分在物理中应用（变速直线运动的路程、变力沿直线做功）。 二：教学重难点　　 重点 曲边梯形面积的求法 难点　定积分求体积以及在物理中应用　 三：教学过程： 定积分在物理中应用 (1)求变速直线运动的路程 我们知道，作变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v=v (t) ( v(t) ≥0) 在时间区间[a,b]上的定积分，即 例 4。一辆汽车的速度一时间曲线如图1.7 一3 所示．求汽车在这1 min 行驶的路程． 解：由速度一时间曲线可知： 因此汽车在这 1 min 行驶的路程是： 答：汽车在这 1 min 行驶的路程是 1350m . （2）．变力作功 一物体在恒力F（单位：N）的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方向移（单位：m)，则力F所作的功为W=Fs . 探究 如果物体在变力 F(x）的作用下做直线运动，并且物体沿着与 F (x) 相同的方向从x =a 移动到x=b