“华为杯”全国研究生数学建模竞赛B题-简体.docVIP

【2012第九届全国研究生数学建模竞赛 B题】 基于卫星无源探测的空间飞行器主动段轨道估计与误差分析 有些国家会发射特殊目的的空间飞行器，如弹道式导弹、侦察卫星等。对他国发射具有敌意的空间飞行器实施监控并作出快速反应，对于维护国家安全具有重要的战略意义。发现发射和探测其轨道参数是实现监控和作出反应的第一步，没有观测，后续的判断与反应都无从谈起。卫星居高临下，是当今探测空间飞行器发射与轨道参数的重要平台。 观测卫星按轨道特点，可分为高轨地球同步轨道卫星和中低轨近圆轨道卫星。其中同步轨道距地球表面约3.6万千米，轨道平面与地球赤道平面重合，理论上用3颗间隔120度分布的同步轨道卫星可覆盖地球绝大部分表面。中低轨近圆轨道距地球表面数百到几千千米不等，根据观测要求，其轨道平面与赤道平面交成一定角度，且常由若干颗卫星实现组网探测。装置于卫星上的探测器包括有源和无源两类：有源探测器采用主动方式（如雷达，激光）搜寻目标，同时具备定向和测距两种能力；无源探测器则被动接收目标辐射。采用无源探测器的观测卫星常采用红外光学探测器，只接收目标的红外辐射信息，可定向但不能测距。对于火箭尾部喷焰的高度敏感性是红外技术的长处，但易受气候影响与云层干扰则是其缺点。 探测的目的是为了推断空间飞行器的轨道参数，推断是基于观测数据并通过数学模型与计算方法作出的。当观测卫星飞行一段时间，探测器测得目标相对于运动卫星的观测数据，以观测卫星和空间飞行器的运动模型和观测模型为基础，对空间飞行器的轨道参数（包括轨道位置、速度初值和其他模型参数）进行数学推断，为飞行器类别、飞行意图的判断提供信息基础。 空间飞行器轨道一般可分为三段，依次为：靠火箭推进的主动段、在地球外层空间的惯性飞行段和再入大气层后的攻击段。主动段通常由多级火箭相继推进，前一级火箭完成推进后脱落，由后一级火箭接力。惯性飞行段在空气阻力极小的大气层外，靠末级火箭关机前获得的速度在椭圆轨道上作无动力惯性飞行。攻击段则根据任务需求，受控制后再入大气层，飞向目标。对于卫星而言，在其寿命结束前一直绕地飞行，故无攻击段。 图1是空间飞行器的主动段示意图（未按实际比例）。主动段又可细分为若干子段：垂直上升段，程序拐弯段和重力斜飞段。按最优轨道设计，为节约燃料，箭体应尽快穿过稠密大气层，故火箭一般先垂直发射。设A点为地面发射点，AB为垂直上升段，BC弧段为程序拐弯段，CD弧段为重力斜飞段，DE弧段为椭圆轨道。程序拐弯段连接垂直上升段与重力斜飞段，在外力矩控制下使箭体转过一定角度，该段完成后外加力矩撤销，进入斜飞状态。第一级火箭通常负担“垂直段+程序拐弯段（加外力矩）+重力斜飞段的前段”的推进（视发动机的特性），重力斜飞段的后程则靠第二、第三级火箭相继完成。由于斜飞状态下地球引力与推力不在同一直线，所以箭体质心的运动轨迹为带一定弧度的光滑曲线。 图1 空间飞行器主动段轨道的示意图 为描述观测卫星和空间飞行器的运动，需要建立适当的坐标系。本题基础坐标系为随地心平移的坐标系，取地球中心为原点，地球自转轴取为轴，指向北极为正向，轴由指向零时刻的0经度线，再按右手系确定轴，建立直角坐标系。地心在绕日椭圆轨道上运动，所以理论上系是非惯性系。但地球公转周期远大于空间飞行器的观测弧段时长，故本题在短时间内认定该系为惯性坐标系，该基础坐标系不随地球旋转。 图2 观测坐标系示意图 第二个坐标系是随卫星运动的观测坐标系，见图2，原点取为卫星中心，轴沿连线，离开地球方向为正，轴与垂直指向正北，轴按右手系确定。由于一般测量卫星的轨道都不会严格经过南北极上空，所以这种坐标系的定义是明确的。如此定义的观测坐标系也叫做UEN坐标系，因为三个坐标轴分别指向上（UP）、东（EAST）和北（NORTH）三个方向。 根据变质量质点的动力学，空间飞行器在基础坐标系下的主动段的简化运动方程如下： （1） 其中向量表示飞行器所受的外力加速度之和，表示火箭产生的推力加速度，为瞬时质量；是质量变化率；为空间飞行器在基础坐标系下的位置矢量；表示对时间的二阶导数，即加速度；为地球引力常数（本题中地球引力常数取），为了更明确地表示推力加速度的方向，取的是燃料相对于火箭尾部喷口的喷射速度的逆矢量。 方程（1）中如果只保留右侧第一项，则可以表示观测卫星的简化运动方程： （2） 在给定基础坐标系下的位置和速度初值情况下，可以利用常微分方程组数值解方法计算空间飞行器的运动轨迹。不同空间飞行器的本质差异就在于和的模型不同，一般而言应为严格单调递减的非负函数。的方向一般应与飞行器的速度方向接近或相同，其大小一般较为稳定。 观测卫星对于空间飞行器的观测数据通