“次三项式的判别式”在解物理题中的应用 新课标 人教版.docVIP

“二次三项式的判别式”在解物理题中的应用 http://www.DearEDU.com 牟长元 （重庆市铝城中学 重庆 401326） 二次三项式的判别式在高中物理解题中主要体现在三个方面：⑴判断某种物理现象能否实现。⑵“似少条件”问题的求解；⑶极值问题的求解。 例题1、如图所示某足球运动员在距球门11m处罚球，准确地从横梁下边踢进一球。横梁下边沿离地高h = 2 .4m ，足球质量m = 0.6kg，空气阻力不计，取g =10m/s2，试计算该运动员罚点球时，至少应传递给足球多少能量？ 解：设足球起飞时的初速度为vo, vo与水平方向的夹角为θ，不计空气阻力，则足球在空中做斜抛运动。 水平方向： s = v0 cosθt 竖直方向： h = v0 sinθt －g t2 消去参数θ，得到 h = s tgθ－ = s tgθ － g s2tg2θ－2stgθ + ( g s2 + 2 h ) = 0 上式为以t anθ为自变量的一元二次方程，tanθ有实数解的条件是 △ = b2－4 a c ≥ 0 (2s )2 － 4 g s2 (g s2 + 2h ) ≥ 0 ≥ g (h + ∴ v0的最小值 。 足球的最小初动能： Ekmin = 例2、(2003年北京市理综测试题第34题)：在足够大的真空空间中，存在水平向右的匀强电场，若用绝缘细线将质量为m的带电小球悬挂在电场中，静止时细线与竖直方向夹角θ= 37°。现将该小球从电场中的某点竖直向上抛出，抛出的初速度大小为v0,如右图所示。求： （1）小球在电场内运动过程中的最小速率；（2）小球从抛出至达最小速率的过程中，电场力对小球做的功。 解：（1）按题设条件有：qE = mg tg37°= 3mg/4 水平方向： vx = a t ; 竖直方向： vy = v0－gt 所以，在t时刻小球的速率表达式： v = v2 = a2t2 + v02 －2vog t +g2t2 (a2+g2) t2 －2 vog t +(vo2－v2) = 0 t 有实数解，则（－2vo g 2 －4(a2+g2)(vo2－v2) ）≥ 0 将 a = 3g/4代入上式可得： v ≥ 3v0 /5 。 取等号时，v最小，即 vm = 3vo/5 （2）小球在水平方向作匀加速直线运动，当速率最小时，沿水平方向的分速度为 vminx= vmincos37° =12 vo/ 25 , 沿水平的位移x = v2minx /2a = 电场力做功为 W = qE x = 例3火车以速率v1向前行驶，司机忽然发现，在正前方同轨道上距车S处有另一辆火车，正沿同方向以较小速率v2作匀速运动。他立即使火车作匀减速运动，加速度大小为a .为了使两车不致相碰，试分析a应满足什么关系式？ 解：假设两列火车恰能相碰。则有 S1 = S2+S。 根据运动公式和恰能相碰的条件得 v1 t － = v2 t + S a t2－2(v1－v2) t + 2S = 0 如果t有实数解，则与前面的假设相符；如果t无实数解，则两车就不会发生碰撞，即判别式 △ = b2 －4 a c = 4(v1－v2)2－ 8 aS 0 所以 例4、如图所示，在磁感应强度方向向下，大小为B的匀强磁场中，有一个顶角为2θ的圆锥体。一个质量为m、带电量为+q的小球，沿锥体表面在水平面内作匀速圆周运动。求小球作圆周运动的最小轨道半径。 解：设小球的速度为v,轨道半径为R。根据牛顿第二定律和平衡条件 水平方向 q v B －FNcosθ = m 竖直方向 FN sinθ = mg 由两式可得 根据v有实数解的条件 △=b2－4 a c≥ 0 ,即 （qB）2 －4(mgctgθ≥ 0 得 R≥ 所以，轨道的半径的最小值为Rmin = 。 例5、已知甲、乙两地之间的距离S =1600m ,摩托车从甲地到乙地作变速运动，以加速度a1 =1.6m/s2起动作匀加速直线运动，到乙地这前以加速度a2 =6.4m/s2做匀减速运动，到乙地即停止运动。试求摩托车从甲地到乙地运动的最短时间和在这种情况下的最大速度。 分析：设想摩托车的运动分三段过程：匀加速直线运；匀速运动；匀减速直线运动。匀速运动阶段的速度为v , 全程运动时间为t, 则位移： S =v t － ( 先将时间t看成已知量，整理成方程 v2 — t v + S = 0 要v有实数解，则判别试△≥0, 即由 （— t ）2 — 4 () S ≥0 可得：t ≥ 从而得到：tmin = 将最短时间表达式代入S =v t － ( 中求出运动的最大速度为 v = =64m /s 从上面的速度表达式可以转