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“法”破解三项展开式问题
“四法”破解三项展开式问题
作者：陈强 工作单位：湖北省十堰市东风高级中学 邮编 442000
联系电话 E-mail：906912522@
如何求解三项展开式中某些指定的项，同学们普遍感到比较陌生。下面介绍四种破解三项展开式问题的方法，供参考．
问题：求展开式中的系数为.
1、两项看成一项，利用二项式定理展开
三项展开式的问题可将其中两项作为整体，利用二项式定理来处理，这是把三项式向二项式转化的有效途径．
解法1：
=
所以项的系数为．
2、两项看成一项，抓展开式的通项公式
解法2：
，r=0，1，2，3，4，5，则的系数由来确定
由r + k = 5得
所以项的系数为．
点评：这种解法本质上同解法1相同，先将其中两项作为整体，两次利用二项式定理的通项公式后，就得到了三项展开式的通项公式为
3、因式分解，转化为两个二项展开式
解法3：
=
相乘合并得项的系数为92．
点评：若三项式可分解因式，则可以转化为两个二项式的积的形式；若三项式恰好是二项式的平方，则也可直接转化为二项式问题求解，如 ．
4、看作多个因式的乘积，用组合的知识解答
解法4：将看作5个因式的乘积，这5个因式乘积的展开式中形成的来源有：
①5个因式各出一个2x，这样的方式有种，对应的项为；
②有3个因式各出一个2x，有1个因式出一个 - 3x2，剩余1个因式出一个1，这样的方式有种，对应的项为；
③有1个因式出一个2x，2个因式各出一个- 3x2，剩余2个因式各出一个1，这样的方式有种，对应的项为；
所以项的系数为
点评：对于求三项展开式中指定项的系数问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合的知识求解，也很简捷，但要注意将各种情况讨论全，避免遗漏．
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