《UP行测考点精》之余数问题.docVIP

余数问题 知识框架 公务员考试中余数问题一般只有两种类型，只要理解题目，掌握解题的基本方法，便能轻松搞定这类问题。 核心点拨 1、题型简介 公务员考试中常见的题型是给出相关的已知条件，计算出余数。 2、核心知识 被除数=除数×商+余数（都是正整数） （1）一个被除数，多个除数 A、基本形式——中国剩余定理 原型： 《孙子算经》记载：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？” 基本解法——层层推进法： 以上题为例，满足除以3余2的最小数为2； 在2的基础上每次加3，直到满足除以5余3，这个最小的数为8； 在8的基础上每次加3、5的最小公倍数15，直到满足除以7余2，这个最小的数为23。 所以满足条件的最小自然数为23，而3、5、7的最小公倍数为105，故满足条件的数可表示为105n+ 23(n=0，1，2，…)。 B、特殊形式——余同、和同、差同 特殊形式的口诀：余同取余，和同加和，差同减差，最小公倍数为最小周期。 （2）多个被除数，一个除数 A、同余 两个整数a、b除以自然数m(m1)，所得余数相同，则称整数a、b对自然数m同余，记做( cmod m)。例如：23除以5的余数是3，18除以5的余数也是3，则称23与18对于5同余。 同余的特殊性质：在同余的情况下(a-b)必能被m整除，所得的商为两数商之差。例如：，那么。 B、不同余 两个整数a、b除以自然数m(m1)，所得余数不相同，则称整数a、b对自然数m不同余。 同余和不同余的三个重要的性质——可加性，可减性，可乘性。 对于同一个除数m，两个数和的余数等于余数的和，两个数差的余数等于余数的差，两个数积的余数等于余数的积。 3、核心知识使用详解 （1）一个数被2（或5）除得到的余数，就是其末一位数字被2（或5）除得到的余数。 （2）一个数被4（或25）除得到的余数，就是其末两位数字被4（或25）除得到的余数。 （3）一个数被8(或125)除得到的余数，就是其末三位数字被8（或125）除得到的余数。 （4）一个数被3（或9）除得到的余数，就是其各位数字之和被3（或9）除得到的余数。 夯实基础 1、一个被除数，多个除数 例1：(2008．山西) 一个盒子中有几百颗糖，如果平均???给7个人，则多3颗，平均分给8个人则多6颗，如果再加3颗，可以平均分给5个人，则该盒子中糖的数目可能有： A. 3种 B. 4种 C. 5种 D. 6种 【答案】A 【解析】[题钥] “有几百颗糖”意味着糖的数目是一个三位数； “如果再加3颗，可以平均分给5个人”即糖的数量除以5余2。 [解析] 根据题意可知： 满足除以7余3最小自然数是3， 在3的基础上每次加7的倍数直到满足第二个条件： 这个数是38， 38能够除以7余3，同时除以8余6； 在38的基础上每次加上7和8的最小公倍数56直到满足第三个条件： 这个数是262， 262就是符合全部条件的最小自然数； 所有符合题意的数可以表示为262+280n。 其中280是5、7、8的最小公倍数， 易知n=0，1，2时， 这个数是一个三位数， 即符合题意的糖的数目有3种； 所以，选A。 例2：(2010．浙江) 有一个自然数“z”，除以3的余数是2，除以4的余数是3，问“z”除以12的余数是多少？ A. 1 B. 5 C. 9 D. 11 【答案】D 【解析】[题钥] 根据“除以3的余数是2，除以4的余数是3”可知，3-2＝4-3 即除数与余数之差相同。 [解析] 依题意： 3、4的最小公倍数是12； 根据“差同减差，最小公倍数做周期”，可得： 符合条件的自然数可以表示为12n-1(n=1，2，…)； 该数被12除余数为-1+12＝11， 所以，选D。 例3：(2006．国考) 一个三位数除以9余7，除以5余2，除以4余3，这样的三位数共有： A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 【答案】A 【解析】[题钥] 根据“三位数除以5余2，除以4余3”可知，5+2= 4+3 =7，即除数与余数之和相同。 [解析] 根据“和同加和，公倍数做周期”可知： 4、5的最小公倍数为20； 所有满足条件的数可表示为20n+7，也就是除以20余7； 同时，此三位数除以9余7，余数相同。 根据“余同取余，公倍数做周期”可知： 9、20的最小公倍数为180， 因此，所有满足条件的数可表示为180n+7； 且有100≤180n+7≤999， 即1≤n≤5，n取整数； 所以，选A。 2、多个被除数，一个除数 例4：(2009．内蒙古) a除以5余1，b除于5余4，如果3ab，那么3a-b除以5余几？ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】[题钥] 因为除数同为5，考虑应用可乘性，可减性： 两个数积的余数等于余数的积，两个