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《三角形的证明》之等腰三角形复习 一．相关知识（学习准备）： 等腰三角形及相关概念：①等腰三角形 ②腰 ③底角 ④等边三角形 公理、定理、证明：①公理②定理③证明 常用的公理：①两点确定一条直线。②两点之间线段最短。③平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直④过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。⑤同位角相等，两条直线平行。 ⑥SAS⑦ASA⑧SSS⑨全等三角形的对应边相等，对应角相等⑩等式的有关性质和不等式的有关性质 证明的步骤： ①根据题意，画出图形 ；②根据题设，结论，结合图形，写出已知,求证。③经过分析，找出由已知推出结论的途径，写出证明过程。对假命题的判断，只要举反例来证明即可。 二．知识点 1.等腰三角形与等边三角形性质： ①等边对等角 ②“三线合一”③等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。 ④等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形； 2.等腰三角形与等边三角形的判定: ①“等角对等边” ② 三个角都相等的三角形是等边三角形。 ③有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 3.反证法：是数学中常用的一种方法，其步骤是： ① 假设。假设结论的反面成立，重点完成对假设的等价转化 ② 归结矛盾。矛盾来源：与已知，定理，公理，已证，已作等矛盾。 ③ 否定假设，肯定结论。 如（1）求证：三角形中至少有一个角不大于60°。 （2）求证：等腰三角形的底角必为锐角。 4.三角形中常用的辅助线： （1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题. 已知：如图，中，于D。求证：。 （2）遇到三角形中线，可倍长中线，构造全等三角形，或出现以线段中点为端点的线段时，也常用此法。 ①如图，在△ABC中，BD=DC，ED⊥DF．求证：BE＋CF＞EF． ②如图，△ABC中，AD平分∠BAC，E、F分别在BD、AD上，且DE＝CD，EF＝AC.求证：EF∥AB. （3）遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线. 如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分，求证： （4）过图形上某一点作???定的平行线，构造全等三角形. 如图，ΔABC中，AB=AC，E是AB上一点，F是AC延长线上一点，连EF交BC于D，若EB=CF。?求证：DE=DF。 （5）截长法与补短法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。 ①如图，AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB。求证：CD=AD+BC。 ②如图，△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠1＝∠2。求证：AB＝AC＋CD （6）有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。 ①如图中，若AD平分∠BAC，AD⊥DC，则△AEC是等腰三角形. ②如图，ΔABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE垂直于BD，交BD的延长线于点E。 求证：BD=2CE。 巩固练习： 1．等腰三角形（不等边）的角平分线、中线和高的条数总和是（ ） A．3　　　 　B．5　　　 　C．7　　　 　D．9 2．在射线、角和等腰三角形中，它们（ ）轴对称图形 A．都是　　　　　　 B．只有一个是 C．只有一个不是　 D．都不是 3．三角形内有一点，到三角形三边的距离都相等，同时与三角形三顶点的距离也都相等，则这个三角形一定是（ ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．非等腰三角形 D．等边三角形 4．△ABC中，AB=AC，AB边的中垂线与直线AC所成的角为50°，则∠B等于（ ） A．70°　　　　　　 B．20°或70° C．40°或70°　　　 D．40°或20° 5．在平面直角坐标系xOy中，已知A(2，－2)，在y轴确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点有 ( ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6．等腰三角形的对称轴是（ ） A．顶角的平分线 B．底边上的高 C．底边上的中线 D．底边上的高所在的直线 7．等腰三角形的一个外角是80°，则其底角是（ ） A．100° B．100°或40° C．40° D．80° 8．如图在∠GAH的两边上， AB=BC=CD=DE=EF，若∠A=18°，则∠GEF的度数是（ ） A．80°