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《信号分析与处理》教案 第六章：Z变换及其应用 PAGE  PAGE 164 上海大学机自学院自动化系 朱晓锦 第六章：Z变换及其应用 6.1. 概述 很久以前，人们就已经认识了Z变换方法的原理，其历史可以追溯至十八世纪。早在1730年，英国数学家棣美弗(DeMoivre 1667～1754)将生成函数的概念应用于概率理论的研究，实质上这种生成函数的形式与Z变换相同。从十九世纪的拉普拉斯(P.S.Laplace)至二十世纪的沙尔(H.L.Seal)等人，在这方面继续作出贡献。然而，在这样一个较为局限的数学领域，Z变换的概念没能得到充分的应用与发展。20世纪六十年代，随着抽样数据控制系统和数字计算机的研究和发展，为Z变换的应用开辟了广阔的天地。从此，在离散信号与系统的理论研究之中，Z变换成为一种重要的数学工具。例如，在连续系统中，为了避开解微分方程的困难，可以通过拉氏变换把微分方程转换为代数方程。出于同样的动机，也可以通过一种Z变换这一数学工具，把差分方程转换为简单的代数方程。 当前，Z变换是在变换域里研究离散时间信号与系统的重要工具，其在离散时间信号与系统分析中的作用，和拉氏变换在连续时间信号与系统分析中的作用是相似的。 6.2. Z变换 一、Z变换的定义 如果有一个离散时间序列，则定义： 对的双边Z变换 对的单边Z变换 注意：Z为复数 今后，在不至于混淆的情况下，统称它们为对的Z变换。简记为， 或 可见：对序列的Z变换，其实质上是以序列为加权系数的Z的幂级数之和。可见对于双边Z变换，变换表达式即包含有Z的正幂项，也包含有Z的负幂项；对于单边Z变换，只包含负幂项。 显然，因果序列的双边Z变换与单边Z变换的结果是相同的。 二、从拉氏变换引出Z变换 若对一个因果连续信号进行均匀冲激抽样，可得到抽样信号(已离散化)为 式中，为抽样周期。上式两边取单边拉氏变换可得： 取和，即，上式可化为 即， 可见对于连续信号，其均匀采样信号的拉氏变换与对应的离散序列的Z变换，通过或可以相互进行转换。 三、3个基本序列的Z变换 1、单位样值信号 因为， 2、单位阶跃序列 因为 即这是一个等比级数，公比， 当时， 3、单边指数序列 因为， 其中， 四、Z变换的收敛域 既然Z变换定义为一个无穷幂级数之和，显然只有当幂级数收敛才有意义，即要求 时，的Z变换才存在。 上式称为绝对收敛条件，它是序列的Z变换存在的充要条件。 Z变换收敛域的定义： 对于序列，使中级数收敛的所有Z值的集合，称为Z变换的收敛域。 例如，对于两个不同的时间序列 ， 则有 若，则 即收敛域为： 同理 这里，令，则 原式 当时，该式 所以，原式，（收敛域为） 可见，两个不同的时间序列由于其收敛域不同，但却对应着相同的Z变换，因此为了唯一确定的Z变换所对应的序列，不仅要给出序列的Z变换式，而且必须同时说明它的收敛域。 下面着重介绍不同类型序列的收敛域问题 1、有限长序列Z变换的收敛域 式中、均为整数，且 ① 此时只包含有限个Z的负幂项，收敛域为 ② 此时只包含有限个Z的正幂项，收敛域为 ③ 此时包含Z的正负幂项，收敛域为 2、右边序列Z变换的收敛域 收敛域为（为正数） 3、左边序列Z变换的收敛域 收敛域为（为正数） 4、双边序列Z变换的收敛域 双边序列可以看成是一个左边序列和一个右边序列之和，即： 收敛域：若，则为 若，则收敛域不存在 小结： 序列的收敛域一般是下列的几种情况： ①对于有限长序列，其Z变换收敛域一般遍布整个平面，仅去除0或∞个别点； ②对于因果序列(右边序列)，其Z变换收敛域为某个圆外区域； ③对反因果序列(左边序列)，其变换收敛域为某个圆内区域； ④对于双边序列，其Z变换收敛域为环状区域。 各种典型序列的Z变换收敛域如下图所示。 例1、求的Z变换 解：的双边z变换为 收敛域为： 的单边z变换为 收敛域为： 例2、求因果序列(右边序列) 的z变换，并画出收敛域. 解：此即为前述的单边指数序列，其z变换为： 收敛域为：，如下图所示。 例3、求反因果序列(左边序列) 的z变换，并画出收敛域。 解： （令） 条件是：，即收敛域为 例4、求序列的单边和双边Z变换,并确定和画出其收敛域（其中ba,b0,a0）。 解：序列为一个双边序列，其由一个因果/右边序