《复变函数与积分变换》辅导资料六.docVIP

第 PAGE 6页 共 NUMPAGES 6页 复变函数与积分变换辅导资料六 主 题：第二章 解析函数2—3节 学习时间：2012年11月5日－11月11日 内 容： 本周首先介绍判定解析的条件—柯西-黎曼条件，其次，将在实数域上熟知的初等函数推广到复数域上来，并讨论它们的解析性。解析函数有很多重要的性质，必须很好地掌握，其学习要求及需要掌握的重点内容如下： 1、熟练掌握复变函数解析的充要条件 2、会判断一个函数是否解析 3、了解指数函数、对数函数、幂级数、三角函数、双曲函数的定义及它们的解析性质、运算性质 基本概念：柯西－黎曼方程 知识点：初等函数的解析性 第二节、函数解析的充要条件 （要求达到“简单应用”层次） 定理1：设函数定义在区域D内，则在D内一点可导的充要条件是：与在点可微，并且在该点满足柯西-黎曼方程，且。 定理2：设函数在区域D内有定义，则在D内解析的充要条件是：与在D内处处可微，并且满足柯西-黎曼方程。 典型例题： 例、试证函数在复平面解析 证：令 得 因为 所以 利用解析函数的充要条件，可证得在复平面解析。 第三节、初等函数 （要求达到“识记”层次） 一、指数函数 对于任何复数，称为指数函数。特别地，当时，得欧拉公式。 指数函数它有如下性质： 1、当时与实指数函数是一致的 2、 3、在z平面上解析，且 4、 5、是以为周期的周期函数 6、极限不存在，即无意义 典型例题： 例、计算的值 解： 二、对数函数 把满足方程的函数称为对数函数，记作。 对数函数是指数函数的反函数，下面推导的具体表达式。 设，那么， 所以有为整数）， 从而。 由于是多值函数，所以对数函数是一个多值函数，并且每两个值相差的整数倍。如果取主值，则便是一个单值函数，记，称为的主值，即，于是对数函数又可以表示为为整数）。 对数函数它有如下性质： 1、当时，即为实函数中的对数函数 2、 上述等式应理解为集合意义上的等式。另外，这个运算性质对对数主值不再成立。 3、在除去原点及负实轴的平面内解析，且。又因为为整数），所以的各个分支在除去原点及负实轴的平面???解析，且有相同的导数值。以后涉及对数函数时，指的都是除去原点及负实轴的平面内的某一单值支。 典型例题： 例1、计算 解：为整数） 例2、计算 解：为整数） 三、幂函数 设为任意一复常数，函数称为复变量的幂函数。 由于为多值函数，所以幂函数一般也为多值函数。 1、当为整数时，为整数）是单值的。并且当为正整数和零时，为整个复平面上的解析函数；当为负整数时，在除去原点外的复平面上解析。 2、如果为有理数时，为整数）有个不同的值，即当时所对应的值。的各个分支在除去原点及负实轴的复平面内解析。 3、如果为无理数或复数时，为无穷多个值。的各分支在除去原点及负实轴的复平面内解析。 不论为以上何种情况，在解析点上统一有 其中，应理解为与相对应的某个单值支。 典型例题： 例1、计算的值 解： 例2、计算的值 解：为整数） 四、三角函数 由欧拉公式有：， 所以有 定义：对任何复数z，定义余弦函数和正弦函数如下： 余弦函数和正弦函数基本性质： 1、和都是单值函数 2、是偶函数，是奇函数 3、和是以为周期的周期函数 4、 5、 注1:和都是无界的 注2:与不总是非负的，也可能是负数值 6、和在整个复平面解析，并且 7、和在复平面的零点： 在复平面的零点是在复平面的零点是 8、同理可以定义其他三角函数： 五、双曲函数 与三角函数密切相关的是双曲函数，常用的有 双曲余弦 双曲正弦 双曲正切