《复变函数与积分变换》辅导资料四.docVIP

第 PAGE 4页 共 NUMPAGES 4页 复变函数与积分变换辅导资料四 主 题：第一章 复数与复变函数4—6节 学习时间：2012年10月22日－10月28日 内 容： 这周我们将学习第一章复数与复变函数4—6节。本周在原有的基础上作简要的复习和补充，再引进复变函数的极限与连续性等概念，为研究解析函数理论和方法奠定必要的基础，其学习要求及需要掌握的重点内容如下： 1、了解区域的概念 2、理解复变函数的概念 3、知道复变函数的极限和连续性的概念 基本概念：区域、复变函数 知识点：复变函数 第四节、区域 （要求达到“领会”层次） 一、平面点集的几个基本概念 1、邻域：设是x0y平面上的一个点,d是某一正数,与点距离小于d的点的全体,称为点的d邻域,记为,即或。 的几何意义是，以为圆心，以为半径的圆内的全体点所组成的集合。 称为的去心邻域，简称为点的去心邻域。 的几何意义是，以为圆心，以为半径的圆内的全体点挖掉所组成的集合。 2、区域 点与点集之间的关系： 任意一点与任意一个点集G?R2之间必有以下三种关系中的一种：内点、外点和边界点。 （1）如果存在的一个邻域，该邻域内的所有点都属于G，则称为G的内点； （2）若点的某一个邻域内的点都不属于G，则称点为G的外点； （3）若在点的任意一个邻域内，既有属于G的点，也有不属于G的点，则称点为G的边界点，点集G的全部边界点称为G的边界。 3、开集：如果点集G的点都是内点,则称G为开集。 4、连通性：如果点集G内任何两点?都可用折线连结起来?且该折线上的点都属于G?则称G为连通集。 5、区域(或开区域)：连通的开集称为区域或开区域 闭区域：开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域 若存在一个正数M，使得G内的任意一点都满足，则称G为有界集，否则，称G为无界集。 二、简单曲线 设，如果和都在闭区间[a,b]上连续，则称点集为一条连续曲线。 如果对[a,b]上任意不同两点及，但不同时是[a,b]的端点。若，点称为曲线z的重点。若，上述点集称为一条简单连续曲线，或约当曲线。若还有，则称为一条简单连续闭曲线，或约当闭曲线。 约当定理：任意一条约???闭曲线把整个复平面分成两个没有公共点的区域：一个有界的称为该区域的内部，一个无界的称为该区域的外部。他们都是以该闭曲线为边界。 光滑曲线：如果和都在闭区间[a,b]上连续，且有连续的导函数，在[a,b]上，，则称集合为一条光滑曲线；类似地，可以定义分段光滑曲线。 定义：有有限条光滑曲线连接而成的连续曲线成为逐段光滑曲线。 三、单连通区域与多连通区域 定义：设D为复平面上的区域，若在D内无论怎样划简单闭曲线，其内部仍全含于D，则称D为单连通区域。否则，称为多连通区域。 典型例题： 例、集合为一个圆环，它是一个多连通有界区域，其边界为圆及。 第五节、复变函数 （要求达到“领会”层次） 定义：设在复平面上有点集D。若对于D内每一点z，按照某一法则，有确定的复数ω与之对应，则称这种对应关系是z的复变函数，记作ω=f(z)；称ω是z在函数f下的像。 若z的一个值对应着ω的一个值，则称f(z)为单值函数；若z的一个值对应着ω的几个或无穷多个值，则称f(z)为多值函数。 典型例题： 例、把函数写成的形式 解：设，则 因此， 即 第六节、复变函数的极限和连续性 （要求达到“识记”层次） 一、复变函数的极限 定义：设函数在点的去心邻域内有定义，A是一个复常数。如果任给，总存在正数，对任意： 有，则称为函数当趋于时的极限，记作： 或(当) 定理1：设，，，那么的充要条件是。 定理2：若，则 （1） （2） （3）若，则 典型例题： 例、求函数当时的极限 解： 二、复变函数的连续性 定义：设为定义在的邻域内的函数，若，则称函数在点连续。 定理1：函数在处连续的充要条件是：和在处连续。 定理2：连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为连续函数，连续函数的复合函数仍为连续函数。