《多元函数微积分》习题解答章.docVIP

PAGE  PAGE 18 习题1—1解答 设，求 解； 设，证明： 求下列函数的定义域，并画出定义域的图形： （1） （2） （3） （4） y x 1 1 -1 -1 O 解（1） y x 1 1 -1 -1 O （2） y x -a -b c O z a b （3） （4） y x １ O z １ １ 4．求下列各极限： （1）= （2） （3） （4） 5．证明下列极限不存在： （1） （2） （1）证明 如果动点沿趋向 则； 如果动点沿趋向，则 所以极限不存在。 （2）证明： 如果动点沿趋向 则； 如果动点沿趋向，则 所以极限不存在。 6．指出下列函数的间断点： （1）； （2）。 解 （1）为使函数表达式有意义，需，所以在处，函数间断。 （2）为使函数表达式有意义，需，所以在处，函数间断。 习题1—2 1．（1） ；. (2) (3), lnz=yln(1+xy)，两边同时对y求偏导得 ; (4), (5); (6), , ; 2.(1); (2) . 3 , . 4 . 5.(1) , , ; (2) ,,,; (3) , ,; (4) ,, . 6. 设对角线为z,则,, 当时, =-0.05(m). 7. 设两腰分别为x、y,斜边为z,则 ，, , 设x、y、z的绝对误差分别为、、, 当时, =0.124,z的绝对误差 z的相对误差. 设内半径为r，内高为h，容积为V，则,,,, 当时, . 习题1—3 1. ==. 2.== ==. (1) =, =. (2) =, =,=. (3) =,=,=. (4) ==,=. .(1),, , , (2) ,, . 5 , ,, . 6 (1) 设, ,, , , =, =, =, , (3) 设, , =,=. (4) 设,, ,, 7.设, ,, ,, 1. 8.设, , . 9. (1)方程两边同时对x求导得 解之得 (2) 方程两边同时对z求导得 解之得 (3) 方程两边同时对x求偏导得 解之得 同理方程两边同时对y求偏导得 解之得 习题1－4 求下列函数的方向导数 （1） 解： （2） 解： （3）与轴夹角为 解： 由题意知则 （4） 求下列函数的梯度 （1） 解： ,) (2) 解： ，）。 一个登山者在山坡上点处，山坡的高度z由公式近似，其中x和y是水平直角坐标，他决定按最陡的道路上登，问应当沿什么方向上登。 解： 按最陡的道路上登，应当沿（3，4）方向上登。 解： 沿方向 解：设路径为，在点处 在???的切向量为 平行于切向量 因为过 习题1-5 1、求曲线在对应于点处的切线及法平面方程。 解：当时，， 故所求切线方程为：，即: 法平面方程为： 即: 2、求下列空间曲线在指定点处的切线和法平面方程 （1） 在点 解 ：将方程两端对x求导，得 在处 故所求的切线方程为： 法平面方程： （2） 在点 解法1：将方程两端对x求导，得 ? 当时，有 ， 故所求的切线方程为： 法平面方程： 即： 解法2：将方程组两端求微分：得 ∴曲线在点处的切向量为 3. （题略） 解：（1）令 F（x，y，z）=arctg-z, = -1，曲面在点P的切平面方程为：-，即： x - y - 2z -=0； 法线方程为：，即： ； （2）令 则，， 曲面在点(1,1,1)点处的切平面的法向量为： 故所求的切平面方程为：即： 法线方程为： （3）令F（x，y，z）=2+2-8，=- 16ln2，曲面在点P的切平面方程为：4ln2（x-2）-4ln2（y-2）-16ln2（z-1）=0， 即：x-y-4z=0，法线方程为：，即： 4、解：， 又∵抛物线在(1,2)点处的切线斜率为： ∴抛物线在(1,2)点处偏向x轴正向的切线方向为 ∴ 故所求的方向导数为： 习题1-6 1（题略）. 解：由 ,有 x=2, y=-2, 即P(2, -2)为 f(x,y) 的驻点, 又 D（P）=40,=-2 故P (2,-2)为f(x,y)的极大值点, 其极大值为f(2,-2)=8. 2（题略）. 解：由 有 驻点：(5,6)和 ，而 ∴在点(5,6)取得极小值 又∵ ∴在点不取得极值 3、求在闭区域上的最大值和最小值 解：由，得唯一驻点(0,0) 又∵在边界即椭圆上, 由，得驻点： ∴所有可能的