《平面向量》.docVIP

第  PAGE 10 页 共  NUMPAGES 10 页 广东省普宁市2009届高三数学第二轮复习专题测试三 《平面向量》 （一）典型例题讲解: 高考资源网 例1、已知|a|=|b|=1，a与b的夹角α为60°, x =2a－b，y=3b－a, 则x与y的夹角是多少？ 命题意图 本题主要考查向量的数量积及向量的运算法则 知识依托 向量的数量积，向量的模 错解分析 计算|x|,|y|,x·y的值时计算不准确. 技巧与方法 灵活利用向量的平方等于向量的模解决有关向量的运算问题 解：由已知|a|=|b|=1，a与b的夹角α为60°,得a·b=|a||b|cosα=. 要计算x与y的夹角θ，需求出|x|，|y|，x·y的值. ∵|x|2=x2=(2a－b)2=4a2－4a·b+b2=4－4×+1=3， |y|2=y2=(3b－a)2=9b2－6b·a+a2=9－6×+1=7. x·y=(2a－b)·(3b－a)=6a·b－2a2－3b2+a·b =7a·b－2a2－3b2 =7×－2－3=－， 又∵x·y=|x||y|cosθ，即－=×cosθ， ∴cosθ=－，θ=π－arccos.即x与y的夹角是π－arccos 点评：①本题利用模的性质|a|2=a2，②在计算x,y的模时，还可以借助向量加法、减法的几何意义获得：如图所示，设=b, =a, =2a,∠BAC=60°.由向量减法的几何意义，得=－=2a－b.由余弦定理易得||=，即|x|=，同理可得|y|=. 例2．已知平面向量a＝(，－1)，b＝(, ). (1) 若存在实数k和t，便得x＝a＋(t2－3)b, y＝－ka＋tb，且x⊥y，试求函数的关系式k＝f(t)； (2) 根据(1)的结论，确定k＝f(t)的单调区间. 命题意图 本题主要考查向量的运算及向量垂直时的坐标表示。 知识依托 向量的运算法则，向量的模 错解分析 计算|x|,|y|,x·y的值时计算不准确. 技巧与方法解决向量垂直有两种常见的方法：一是先利用向量的坐标运算分别求得两个向量的坐标，再利用向量垂直的充要条件；二是直接利用向量垂直的充要条件，其过程要用到向量的数量积公式及求模公式，达到同样的求解目的（但运算过程大大简化，值得注意）.第（2）问中求函数的极值运用的是求导的方法，这是新旧知识交汇点处的综合运用 解：（1）法一：由题意知x＝(,), y＝(t－k，t＋k)，又x⊥y 故x · y＝×（t－k）＋×(t＋k)＝0. 整理得：t3－3t－4k＝0，即k＝t3－t. 法二：∵a＝(，－1)，b＝(, ), ∴. ＝2，＝1且a⊥b ∵x⊥y，∴x · y＝0，即－k2＋t(t2－3)2＝0，∴t3－3t－4k＝0,即k＝t3－t (2) 由(1)知：k＝f(t) ＝t3－t ∴kˊ＝fˊ(t) ＝t3－, 令kˊ＜0得－1＜t＜1；令kˊ＞0得t＜－1或t＞1. 故k＝f(t)的单调递减区间是(－1, 1 )，单调递增区间是（－∞，－1）和（1，＋∞）. 例3．设函数f (x)＝a · b，其中向量a＝(2cosx , 1), b＝(cosx,sin2x), x∈R. （1）若f(x)＝1－且x∈[－，]，求x； （2）若函数y＝2sin2x的图象按向量c＝(m , n) (﹤)平移后得到函数y＝f(x)的图象，求实数m、n的值. 命题意图 本题主要考查向量的数量积、三角函数的化简及函数的图象的平移公式。 知识依托 向量的数量积，平移公式以及三角函数的恒等变换 错解分析 平移公式用错及三角函数的恒等变换用错。 技巧与方法 HYPERLINK /wxc/ ：能把函数的图像按向量平移，可以看成是C上任一点按向量平移，由这些点平移后的对应点所组成的图象是Cˊ，明确了以上点的平移与整体图象平移间的这种关系，也就找到了此问题的解题途径，一般地，函数y＝f (x)的图象按向量a＝(h , k)平移后的函数解析式为y－k＝f（x－h） 解： (1)依题设，f(x)＝（2cosx，1）·(cosx,sin2x) ＝2cos2x＋sin2x＝1＋2sin(2x＋) 由1＋2sin(2x＋)=1－，得sin(2x＋)＝－. ∵－≤x≤ , ∴－≤2x＋≤, ∴2x＋=－, 即x＝－. （2）函数y＝2sin2x的图象按向量c＝（m , n）平移后得到函数y＝2sin2(x－m)+n的图象，即函数y＝f(x)的图象. 由(1)得f (x)＝ ∵＜， ∴m＝－，n＝1. 例4．设p＞0是一常数，过点Q(2p,0)的直线与抛物线y2＝2px交于相异两点A、B，以线段AB为直径作圆H（H为圆心），试证明抛物线顶点在圆H的圆周上；并求圆H的面积最小时直线AB的方程. 命题意