《应用离散数学》方景龙版-. 陪集与商群.docVIP

§4.5 陪集与商群 习题4.5 1. 集合在“模20加法”下构成群。设是由元素5生成的的子群。 （1）求的每个元素及其次数。 （2）求在中的所有左陪集。 解 （1），的次数分别为：1，4，2，4。 （2）在中的所有左陪集如下： ，， ， 2. 求12阶循环群的子群在中的所有左陪集。 解 所有左陪集如下： ，， 3. 设是群的子群，证明的所有不同左陪集（右陪集）中有且仅又一个在下构成的子群。 解 略 4. 证明6阶群必含有3次元。 解 略 5. 证明偶数阶群必含2次元。 解 设是偶数阶群，若它无二次元，则对中的非单位元，有 所以，中的元素，除单位元外，其他都是成对出现的，所以中的元素是偶数个，矛盾。故偶数阶群必含2次元。 6. 证明在有限群中次数大于2的元素的个数必定是偶数。 解 略 7. 设是一个阶数为的有限群，其中是质数，证明是循环群并求它的所有子群。 解 略 8. 设和分别是群的阶子群，若互质，证明。 解 略 9. 设为虚数单位，即，令 证明在矩阵乘法下构成群，并 （1）给出的运算表。 （2）找出的所有子群。 （3）证明的所有子群都是正规子群。 解 略 10. 设是群，和是其子群，若或是正规子群，则，其中 ， 解 略 11. 设是群，是其子群，证明是正规子群当且仅当对任意的，都有。 解 略 12. 令是整数加群。求商群，和，其中，集合，。 解 略