《应用离散数学》方景龙版-. 子群置换群.docVIP

习题4.4 1. 给出群的全部子群。 解 两个非平凡子群是：和，两个平凡子群是：和。 2. 设，对上的二元运算“模12乘法”： 构成群，请求出的所有子群。 解 略 3. 设是群，是其子群，任给，令 证明是的子群（称为的共轭子群） 解 略 4. 设是群，和是其子群，证明和是的子群当且仅当，其中 解 略 5. 设是群，是的子集，证明是的子群当且仅当，这里 证（1）因为是的子集，根据的定义，显然有： 又因为中任意元素可以写成，所以，还因为中任意元素可以写成，所以，因此 （2），因为，所以 由子群的判定定理知，是的子群。 6. 某一通讯编码的码字，其中和为数据位，和为校验位（都是0或1），并且满足 这里是模2加法。设是所有这样的码字构成的集合。在上定义二元运算如下： 证明构成群，且是的子群，其中是长度为7的位串构成的集合。 解 略 7. 设是循环群，和是它的两个子群。证明，这里是和的最小公倍数。 解 ，则根据定理，应是的倍数，也应是的倍数，从而应是和的最小公倍数的倍数，所以。 ，则应是和的最小公倍数的倍数，从而是的倍数，也是的倍数，所以，，即。 8. 设5阶置换为 计算，，，，。 解 略 9. 设，写出上的所有4元置换。 解 略 10. 列出4元对称群的运算表，求出单位元，每个元的逆元，每个元的次数以及它的所有子群