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《数学分析》三章 函数极限
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第三章 函数极限 (计划课时:1 4 时)P42—68
§1 函数极限概念 ( 4时 )
一、时函数的极限:
1. 以时和为例引入.
2. 介绍符号: ,,的意义,的直观意义.
3. 函数极限的“”定义(,,).
4. 几何意义: 介绍邻域,,
其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.
5. 函数在与,极限的关系:
Th1
验证
证明格式:(不妨设 □)(不妨设□或□,□)
要使化简≤附加条件逐次放大不等式<,
只须□()或□(),□().
于是,□,当(或,)时,有
.
根据函数极限的“”定义知 □ = □(或 □ = □, □ = □).
例2 验证:1); 2).
例3 验证
证 ……
6. 的正值性, 任意性与确定性, 以小为贵.
7. 的存在性与非唯一性,对只要求存在,在乎其大的一面.
二.时函数的极限:
1. 由 考虑时的极限引入.
2. 函数极限的“”定义.
3. 几何意义.
4. 用定义验证函数极限的基本思路.
例4 验证
验证
验证
证 由 =
为使 需有
为使 需有
于是, 倘限制 , 就有
证明格式:(不妨设 □)(不妨设□或□,□,则□□)
要使化简≤附加条件逐次放大不等式<,
只须□()或□(),□().
于是,□,当(或,)时,有: .
根据函数极限的“”定义知 □ = □(或 □ = □, □ = □).
例7 验证
例8 验证 ( 类似有
5. 的正值性, 任意性与确定性, 以小为贵.
6. 的存在性与非唯一性,对只要求存在,在乎其小的一面.
7. 存在并不意味着在有定义,即就是有定义也并不意味着(如例6).
例9 证明 .
三.单侧极限:
1. 定义: 单侧极限的定义及记法.
2. 几何意义: 介绍半邻域
然后介绍等的几何意义.
例9 验证
证 考虑使 的
3. 单侧极限与双侧极限的关系:
Th2
例10 证明: 极限 不存在.
设函数在点的某邻域内单调. 若存在, 则有=
Ex [1]P47 1—7.
§2 函数极限的性质( 2时 )
我们引进了六种极限: ,
.以下以极限为例讨论性质. 均给出证明或简证.
一.函数极限的性质: 以下性质均以定理形式给出.
唯一性:
局部有界性:
局部保号性:
单调性( 不等式性质 ):
Th 4 若和都存在, 且存在点的空心邻域, 使
都有
证 设= ( 现证对 有)
註: 若在Th 4的条件中, 改“”为“”,未必就有以 举例说明.
迫敛性( 双逼原理 ):
例1 求.
四则运算性质: ( 只证“+”和“”)
Ex [1]P51 5——7.
二. 利用极限性质求极限: 已证明过以下几个极限:
( 注意前四个极限中极限就是函数值 )
这些极限可作为公式用.通过有关性质, 把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值, 即计算得所求极限.
例1 ( 利用极限和 )
例2
例3
註:关于的有理分式当时的极限.
例4 [ 利用公式 ]
例5
例6
例7
例8
例9
已知 求 和
Ex [1]P51 1——4.
补充题: 已知 求和 ()
§3 函数极限存在的条件( 2时 )
本节介绍函数极限存在的两个充要条件. 仍以极限为例.
Heine归并原则 —— 函数极限与数列极限的关系:
Th 1 设函数在点的某空心邻域内有定义.则极限存在对任何且都存在且相等. ( 证 )
Heine归并原则反映了离散性与连续性变量之间的关系,是证明极限不存在的有力工具. 对单侧极限,还可加强为单调趋于. 参阅[1]P70.
例1 证明函数极限的双逼原理.
例2 证明
例3 证明不存在.
Th 2 设函数在点的某空心右邻域有定义.则对任何以为极限的递减数列,有.
Th 3 设函数为定义在上的单调有界函数.则存在.
二、Cauchy准则:
Th3 (Cauchy准则)设函数在点的某空心邻域内有定义.则存在,
证
( 利用Heine归并原则 )
Cauchy准则的否定: 不存在的充要条件.
例4 用Cauchy准则证明极限不存在.
证 取
设在 [上
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