《数学分析》十章 幂级数.docVIP

PAGE 1 PAGE 131 第十四章 幂级数 （ 1 0 时 ） §1 幂级数（ 4 时 ） 幂级数的一般概念.型如 和 的幂级数.幂级数由系数数列唯一确定.幂级数至少有一个收敛点.以下只讨论型如的幂级数. 幂级数是最简单的函数项级数之一. 幂级数的收敛域: Th 1（Abel定理）若幂级数在点收敛, 则对满足不等式的任何,幂级数收敛而且绝对收敛；若在点发散,则对满足不等式的任何，幂级数发散. 证 收敛, {}有界.设||, 有|,其中 .. 定理的第二部分系第一部分的逆否命题. 幂级数和的收敛域的结构. 定义幂级数的收敛半径R. 收敛半径 R的求法. Th 2 对于幂级数, 若, 则 ⅰ 时, ; ⅱ 时; ⅲ 时. 证 , (强调开方次数与的次数是一致的). …… 由于, 因此亦可用比值法求收敛半径. 幂级数的收敛区间: . 幂级数的收敛域: 一般来说, 收敛区间收敛域. 幂级数的收敛域是区间、、或之一. 例1 求幂级数的收敛域 . ( ) 例2 求幂级数的收敛域 . ( ) 例3 求下列幂级数的收敛域: ⑴ ; ⑵ . 例4 求级数的收敛域 . Ex [1]P50—51 1. 二． 幂级数的一致收敛性： Th 3 若幂级数的收敛半径为，则该幂级数在区间内闭一致收敛. 证 , 设, 则对, 有 , 级数绝对收敛, 由优级数判别法 幂级数在上一致收敛.因此,幂级数在区间内闭一致收敛. Th 4 设幂级数的收敛半径为,且在点( 或 )收敛,则幂级数在区间( 或 )上一致收敛 . 证 . 收敛, 函数列在区间上递减且一致有界,由Abel判别法,幂级数在区间上一致收敛. 易见,当幂级数的收敛域为(时,该幂级数即在区间上一致收敛 . 三. 幂级数的性质: 1. 逐项求导和积分后的级数: 设, *) 和 **)仍为幂级数. 我们有 Th 5 *) 和 **)与有相同的收敛半径 . ( 简证 ) 注: *) 和 **)与虽有相同的收敛半径(因而有相同的收敛区间)，但未必有相同的收敛域, 例如级数. 2. 幂级数的运算性质: 定义 两个幂级数和在点的某邻域内相等是指：它们在该邻域内收敛且有相同的和函数. Th 6  LINK Word.Document.8 E:\\分析教案 （数）\\Ch14（幂）.doc OLE_LINK1 \a \r . Th 7 设幂级数和的收敛半径分别为和, , 则 ⅰ , — 常数， . ⅱ +, . ⅲ ()(), , . 3. 和函数的性质: Th 8 设在(内. 则 ⅰ 在内连续; ⅱ 若级数或收敛, 则在点( 或 )是左( 或右 )连续的; ⅲ 对, 在点可微且有 ; ⅳ 对, 在区间 上可积,且 . 注:当级数收敛时,无论级数在点收敛与否,均有.这是因为:由级数收敛,得函数在点左连续, 因此有. 推论1 和函数在区间内任意次可导, 且有 , …… . 注: 由系1可见, 是幂级数的和函数的必要条件是任意次可导. 推论2 若, 则有 例5 验证函数满足微分方程 . 验证 所给幂级数的收敛域为. . , 代入, . 例6 由于, . 所以, . . , Ex [1]P50—51 4 , 5， 6 . §2 函数的幂级数展开（ 4 时 ） 函数的幂级数展开: Taylor级数: 设函数在点有任意阶导数. Taylor公式和Maclaurin公式. Taylor公式： . 余项的形式: Peano型余项: , （只要求在点的某邻域内有阶导数，存在） Lagrange型余项: 在与之间. 或 . 积分型余项: 当函数在点的某邻域内有阶连续导数时, 有 . Cauchy余项: 在上述积分型余项的条件下, 有Cauchy余项 . 特别地，时，Cauchy余项为 在与之间. Taylor级数: Taylor公式仅有有限项, 是用多项式逼近函数. 项数无