《数学分析》章 实数集与函数---§数集和确界原理.docVIP

《数学分析》教案 PAGE  PAGE 8 授课章节：第一章 实数集与函数§２数集和确界原理 教学目的：使学生掌握确界原理，建立起实数确界的清晰概念。 教学要求：（１）掌握邻域的概念；（２）理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运用。 教学重点：确界的概念及其有关性质（确界原理）。 教学难点：确界的定义及其应用。 教学方法：讲授为主。 教学程序：先通过练习形式复习上节课的内容，以检验学习效果，此后导入新课。 引言 上节课中我们对数学分析研究的关键问题作了简要讨论；此后又让大家自学了第一章 §１实数的相关内容。下面，我们先来检验一下自学的效果如何！ 证明：对任何有（１）；（２）. 证明：. 设，证明：若对任何正数有，则. 设，证明：存在有理数满足. [引申]：①由题１可联想到什么样的结论呢？这样思考是做科研时的经常的思路之一。而不要做完就完了！而要多想想，能否具体问题引出一般的结论：一般的方法？②由上述几个小题可以体会出“大学数学”习题与中学的不同；理论性强，概念性强，推理有理有据，而非凭空想象；③课后未布置作业的习题要尽可能多做，以加深理解，语言应用。提请注意这种差别，尽快掌握本门课程的术语和工具（至此，复习告一段落）。 本节主要内容： １．先定义实数集Ｒ中的两类主要的数集——区间邻域；２．讨论有界集与无界集；３．由有界集的界引出确界定义及确界存在性定理（确界原理）。 一 区间与邻域 区间（用来表示变量的变化范围） 设且。 邻域 联想：“邻居”。字面意思：“邻近的区域”。（看左图）。与a邻近的“区域”很多，到底哪一类是我们所要讲的“邻域”呢？就是“关于a的对称区间”；如何用数学语言来表达呢？ a的邻域：设，满足不等式的全体实数的集合称为点a的邻域，记作，或简记为，即 . 点a的空心邻域 . a的右邻域和点a的空心右邻域 点a的左邻域和点a的空心左邻域 （５）邻域，邻域，邻域 （其中Ｍ为充分大的正数）； 二 有界集与无界集 什么是“界”？ 定义１（上、下界）： 设为中的一个数集。若存在数，使得一切都有，则称Ｓ为有上（下）界的数集。数称为Ｓ的上界（下界）；若数集Ｓ既有上界，又有下界，则称Ｓ为有界集。 若数集Ｓ不是有界集，则称Ｓ为无界集。 注：１）上（下）界若存在，不唯一；２）上（下）界与Ｓ的关系如何？看下例： 例1 讨论数集的有界性。 分析：有界或无界上界、下界？下界显然有，如取；上界似乎无，但需要证明。 解：任取，显然有，所以有下界１；但无上界。证明如下：假设有上界M,则M0，按定义，对任意，都有，这是不可能的，如取则，且. 综上所述知：是有下界无上界的数集，因而是无界集。 例2 证明：（１）任何有限区间都是有界集；（２）无限区间都是无界集；（３）由有限个数组成的数集是有界集。 [问题]：若数集Ｓ有上界，上界是唯一的吗？对下界呢？(答：不唯一　，有无穷多个)。 三 确界与确界原理 １、定义 定义２（上确界）　设Ｓ是Ｒ中的一个数集，若数满足：(1) 对一切有（即是Ｓ的上界）; (2) 对任何，存在，使得（即是Ｓ的上界中最小的一个），则称数为数集Ｓ的上确界，记作　 定义３（下确界）设Ｓ是Ｒ中的一个数集，若数满足：（１）对一切有（即是Ｓ的下界）；（２）对任何，存在，使??（即是Ｓ的下界中最大的一个），则称数为数集Ｓ的下确界，记作. 上确界与下确界统称为确界。 ［作业］：Ｐ９　１（１），（２）；　２； ４ （２）、（４）；７