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《数学分析选论》例题选讲 第十章. 多元函数微分学 一．主要内容： 多元函数的极限与连续， 多元函数的偏导数与全微分的计算， 多元函数的高阶偏导数与二元函数的极值计算. 例题. 例1 设 证明:. 证明 对 由于 可知当 时，便有 。故 。 例2 设 证明：不存在. 证明 它随而异，因此不存在。 例3 讨论函数 在点处的偏导数的存在性. 解 计算偏导数 1). 当时，按通常方法求偏导数 2). 当时，按定义求偏导数 ， . 例4 设 , 而 , . 求, .和 解. 由于 , , , , 于是 , . . 例5 设 . 求 , . 解 这里是以和 为自变量的复合函数, 它可写成如下形式 , , . 由复合函数求导法则知 . 于是 , 例6设在上可微函数满足+，试证：在极坐标系里只是的函数. 证 对于复合函数 ，， 由于 ，=+， 因此当时，，与无关，即在极坐标系里只是的函数. 例7从一块边长为的正方形铁皮四角截去同样大小的正方形，然后把四边折起来做成一个无盖盒子，问要截去多大的正方形，才能使盒子的容积最大？。 解 设截去的正方形边长为，则盒子的容积为 . 由， 于是, 是内唯一稳定点，必为最值点. 由得为最大值点.于是要截去边长为的小正方形，能做成容积最大的盒子. 例8 求函数在矩形域上的最大值与最小值. 解 1） 求稳定点.令 解得稳定点 （另一点 ）. 2） 判定稳定点是否是极值点。为此求出 ，，， 并有的偏导数处处存在，因此在D内有其他的极值点. 3）考察在上的取值情形如下 i．在，上，，而 故f在D的这条边上关于y是单增的； ii．在，上，是单减的； iii．在,上，有稳定点 ； iv．在，上，有稳定点 . 4） 计算特殊点上的函数值 ， ， 经比较，便可得到 ， 第十一章. 隐函数 一．主要内容： 隐函数的求导 条件极值的计算 偏导数在几何上的应用. 二. 例题. 例1 设方程 确定, 求. 解 设. 由于, 及其偏导数在平面上任一点都连续, 且 , . 于是由方程确定 存在, 且 . 例2 讨论方程在原点附近所确定的二元隐函数及其偏导数. 解 由于, , 处处连续, 由隐函数存在定理, 知在原点附近能唯一确定连续的隐函数, 且可求得它的偏导数如下 , . 例3 设是由方程，求. 解 方程两边对求偏导，有，因而 方程两边对求偏导，有 ， 因而 . 故 . 例4 设, 求. 解 方程组两边对求偏导得到 ，因此有 ，。 方程组两边对求偏导得到 ， 因此 . 例5 求表面积为, 而体积最大的长方体的体积. 解 设长，宽，高分别为，则问题变为求函数 的最大值，联系方程为 . 设辅助函数为，则有 ， 解方程组得到，因而最大体积为. 例6 求函数在条件, 下的极值, 并证明不等式 , 其中为任意正实数. 解 设拉格朗日函数为 . 对求偏导数,并令它们都等于零, 则有 由此解得的稳定点为, 为判定是否为所求条件极(小)值, 可把条件看作隐函数(满足隐函数定理条件), 并把目标函数看作与的复合函数, 再应用极值充分条件来作出判断, 为此计算如下: =, , , , , , . 当时, , , . 由此可见, 所求得的稳定点为极小值点, 且是最小点. 于是, 就有不等式 , (且 ). 令则有 , 代入上面不等式, 有 , 或 , 例7 求空间曲线 ，， ， 在点（对应于）处的切线方程和法平面方程. 解 将代人参数方程，得点， 该曲线的切向量为T=（ 于是得切线方程为 法平面方程为 =0， 即 例8 求椭圆面在处的切平面方程与法线方程. 解 设. 由于在全空间上处处连续, 在处 于是, 得切平面方程为 , 即 . 法线方程为 . 第十三章. 重积分 重点: 二重， 三重积分的计算 例题. 例1 设是由直线 和 围成, 试求 的值. 解 先对积分后对积分. . 由分部积分法, 知 . 例2 设是由矩形区域，围成, 试求 的值. 解 由于 则 例3 设=, 试求 的值. 解 利用极坐标变换 例4 设是上的正值连续函数，试证 ，其中是 ，. 证明 由于对上面区域变换积分变量记号时，积分区域不变，因此 。 例5 计算, 其中为由平面, , , , 与所围成. 解 在平面上的投影区域为, 于是 . 例6 计算 其中 积分区域为 ， 的公共部分. 解法1 用球坐标计算积分，积分区域分解成；，其中 ； ， 于是 =. 解法2 用平行于0xy平面去截此V，得到的截痕为圆，因此，可用“先二后一”法，有 =. 例