《数学分析》章微分中值定理及其应用.docVIP

PAGE  PAGE 62 第六章 微分中值定理及其应用（计划课时： 8时 ） § 1中值定理 （ 3时 ） 一 思路: 在建立了导数的概念并讨论了其计算后，应考虑导数在研究函数方面的一些作用。基于这一目的，需要建立导数与函数之间的某种联系。还是从导数的定义出发： =.若能去掉导数定义中的极限符号,即,则目的就可达到.这样从几何上说就是要考虑曲线的割线与切线之间的平行关系. 一方面要考虑给定割线, 找平行于该割线的切线; 另一方面要考虑给定切线, 找平行于该切线的割线. (1)若给定的割线是水平的、斜的或曲线的方程以参数方程的形式给出，则分别可找出相应的切线平行于该割线，再分析所需要的条件，就可建立起Rolle定理、Lagrange定理、Cauchy定理. 这三个微分中值定理用一句话概括：对于处处连续、处处有切线曲线的每一条割线都可以找到平行于该割线的切线. (2)若给定切线, 找平行于该切线的割线, 则不一定能实现. 二 微分中值定理: 1. Rolle中值定理: 叙述为Th1. ( 证 ) 定理条件的充分但不必要性. Lagrange中值定理: 叙述为Th2. ( 证 ) 图解 . 用分析方法引进辅助函数, 证明定理. Lagrange中值定理的各种形式. 关于中值点的位置. 系1 函数在区间I上可导且为I上的常值函数. (证) 系2 函数和在区间I上可导且 系3 设函数在点的某右邻域上连续,在内可导.若存在 , 则右导数也存在, 且有(证) 但是, 不存在时, 却未必有不存在. 例如对函数 虽然不存在,但却在点可导(可用定义求得). Th3 (导数极限定理) 设函数在点的某邻域 内连续, 在内可导. 若极限存在, 则也存在, 且 ( 证 ) 由该定理可见, 若函数在区间I上可导,则区间I上的每一点,要么是导函数的连续点,要么是的第二类间断点.这就是说,当函数在区间I上点点可导时, 导函数在区间I上不可能有第二类间断点. 3. Cauchy中值定理: Th 4 设函数和在闭区间上连续, 在开区间内可导, 和在内不同时为零, 又 则在内至少存在一点 使得 . 证 分析引出辅助函数 . 验证在上满足Rolle定理的条件, 必有, 因为否则就有.这与条件“和在内不同时为零” 矛盾. Cauchy中值定理的几何意义. Ex [1]P163 1—4； 三 中值定理的简单应用: ( 讲1时 ) 1. 证明中值点的存在性: 例1 设函数在区间上连续, 在内可导, 则, 使得 . 证 在Cauchy中值定理中取. 例2 设函数在区间上连续, 在内可导, 且有.试证明: . 证明恒等式: 原理. 例3 证明: 对, 有 . 例4 设函数和可导且又 则 .(证明 . ) 例5 设对,有 ,其中是正常数.则函数是常值函数. (证明 ). 证明不等式: 原理. 例6 证明不等式: 时, . 例7 证明不等式: 对，有. 4. 证明方程根的存在性: 例8 证明方程 在内有实根. 例9 证明方程 在内有实根. 四 单调函数 （结合几何直观建立） 1 可导函数单调的充要条件 Th 5设函数在区间内可导. 则在内↗(或↘) 在内 ( 或 ). 例10 设.试讨论函数的单调区间. 解:⑴确定定义域. 函数的定义域为. ⑵求导数并分解因式. ⑶确定导数为0的点和不存在的点.令,得 ⑷将导数为0的点和不存在的点作为分点插入函数的定义域,列表讨论各个区间上的单调性.列表 (-1,1)－02 可导函数严格单调的充要条件 Th6设函数在区间内可导. 则在内↗↗( 或↘↘) ⅰ 对 有 ( 或; ⅱ 在内任子区间上 3 可导函数严格单调的充分条件 推论 见P124 例11 证明不等式 Ex [1]P124—125 1—7. §2 不定式的极限 ( 2时 ) 一. 型: Th 1 (Hospital法则 ) ( 证 ) 应用技巧. 例1 例2 . 例3 . ( 作代换 或利用等价无穷小代换直接计算. ) 例4 . ( Hospital法则失效的例 ) 二 型: Th 2 (Hospital法则 ) ( 证略 ) 例5