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《概率统计》学习指导 　 　 　　　 　 第 PAGE 20页 第七章　数理统计的基本概念 一、数理统计中的几个常用分布 1．正态分布：以前已作详细介绍，此处补充“标准正态分布的分位点”的概念：设α是介于0与1之间的常数，则的含义如课本P.149图5.3所示。例如：。 2．χ2分布：①定义：见P.115的2－4行（密度函数表达式不要记）。②密度函数图象形状：当n≥3时，如P.179图7.2所示。③χ2分布的可加性：见P.179的4－6行所述。④关于χ2分布的分位点：的几何意义如P.179图7.2所示，的值可查χ2分布表（见P.353）。 3．t分布：①定义：P.180定义2（密度函数表达式不要记）。②密度函数图象形状：如P.180图7.3所示。③关于t分布的分位点：的几何意义如P.181图7.4所示，的值可查t分布表（见P.352）。 4．F分布：①定义：P.182定理4所述（密度函数表达式不要记）。②密度函数图象形状：如P.182图7.5所示。③关于F分布的分位点：的几何意义如P.183图7.6所示，的值可查F分布表得到（见P.355）。④对于较接近于1的α，要查的值，可利用P.183的⑼式。 ★基本例题7.1：见黄皮书P.16之“一3，4”。 二、数理统计的主要内容是统计推断 数理统计的主要内容是研究如何进行统计推断，即研究如何尽可能准确地“由部分推断整体”，并对这种推断的可靠性进行分析。这里“整体”与“部分”在数理统计中分别称为总体与样本。为了进一步研究的方便，需要给出“总体”、“样本”与“统计推断”这几个基本概念严格的数学定义。 1．总体：若我们要研究某类（或某个）事物在某一方面的特性，而这个特性可以用一个随机变量的分布或数字特征来表示，这个随机变量就称为“总体随机变量”，简称“总体”，记为X。 2．样本：设对X进行了n次独立重复观察，得到了X所取的n个具体值：，这个过程在实际中称为“抽样”。称为“样本观察值”，简称“样本值”或“样本”。n称为“样本容量”。 3．统计推断：根据样本值，对总体X的分布或数字特征进行推断，这就是“统计推断”。 实例总体样本统计推断的任务实例1： 见P.223 第16题。X表示该厂生产的滚珠直径，由已知，X～N(μ, 0.05) 。其中μ代表该厂生产的滚珠的平均直径。，就是所抽出的8个滚珠的直径值。根据，估计μ位于什么区间内，要求这种估计的可靠性不低于95%。实例2： 见P.253 第26题。X表示掷这颗骰子所得的点数，这颗骰子是否均匀就取决于X的分布列是不是： P{X＝k}＝1/6（k=1,2,3,4,5,6）。，就是掷这颗骰子所得的120个点数，其中有23个1，26个2，……根据，判断是否可以认为X的分布列为P{X＝k}＝1/6（k=1,2,3,4,5,6），也就是判断是否可以认为这颗骰子均匀。 三、简单随机样本与统计量 1．简单随机样本：在对总体X进行抽样之前，应认为将要得到的样本值都是未知的，是随机变量，记为，称“简单随机样本”（也简称“样本”）。对于简单随机样本，我们总有以下两个基本假定：①皆与X具有共同的分布；②相互独立。 2．统计量：若是简单随机样本的不含任何未知参数的函数，则称Y为一统计量。统计量当然是随机变量。例如课本P.175之6－8行所举的例子。 3．几个常用统计量：①样本均值：；②样本方差：，其中S n＞0，称为“样本标准差”。③修正样本方差：，其中S＞0。 ●注意：（1）在很多其它书上，没有以上的②，而③中的S　2称为“样本方差”，S称为“样本标准差”。黄皮书、考研大纲皆是如此！ （2）数理统计中有如下两组固定记号，要熟悉它们的含义： ①：这些都是随机变量。 ②：这些都是常数。 4．常用统计量的数字特征：记，则： （证明见P.175－176） 　　★基本例题7.2： 四、正态总体的抽样分布 设X为总体，为简单随机样本，则统计量的分布称为抽样分布。有时候，虽然含有未知参数，它的分布也称为抽样分布。为了研究的方便，以下我们在X服从于正态分布的前提下，研究Y的分布。 重要结论：设总体为来自X的一个简单随机样本，则： ★基本例题7.3：请做黄皮书上以下题目：P.16“二2”，P.17“二5”，P.20“二5”，P.31第八题。 第八章　参数估计 在本章中，我们用θ表示与总体X有关的某未知参数。本章的基本任务是：研究如何根据抽样所得的样本值，对θ进行估计。估计总体未知参数θ的方法有二大类：（1）点估计：也就是估计θ等于多少。（2）区间估计：也就是估计θ位于什么区间内。 第一节　点估计 一、点估计的步骤：①建立待估参数θ的估计量：，它是个统计