《点集拓扑学》章 §. 局部紧致空间,仿紧致空间.docVIP

§7.6　局部紧致空间,仿紧致空间 　　本节重点: 　　掌握局部紧致空间、仿紧致空间的定义．性质； 　　掌握局部紧致空间、仿紧致空间中各分离性公理空间之间的关系； 　　掌握局部紧致空间、仿紧致空间与紧致空间之间的关系． 　　定义7.6.1　设X是一个拓扑空间,如果X中的每一个点都有一个紧致的邻域,则称拓扑空间X是一个局部紧致空间． 　　由定义立即可见,每一个紧致空间都是局部紧致空间,因为紧致空间本身便是它的每一个点的紧致邻域． 　　n维欧氏空间也是局部紧致空间,因为其中的任何一个球形邻域的闭包都是紧致的． 　　定理7.6.1　每一个局部紧致的空间都是正则空间． 　　证明　设X是一个局部紧致的Hausdorff空间,设x∈X,U是x的一个开邻域．令D是x的一个紧致邻域,作为Hausdorff空间X的紧致子集,D是X中的闭集．由推论7.2.4,D作为子空间是一个紧致的Hausdorff空间,所以是一个正则空间．是x在子空间D中的一个开邻域,其中是集合D在拓扑空间X中的内部．从而x在子空间D中有一个开邻域V使得它在子空间D中的闭包包含于W．一方面V是子空间D中的一个开集,并且又包含于W,因此V是子空间W中的一个开集,而W是X中的一个开集,所以V也是X中的开集．另一方面,由于D是X的闭集,所以V在D中的闭包便是V在X中的闭包因此点x在X中的开邻域V使得．因此X是一个正则空间． 　　定理7.6.2　设X是一个局部紧致的正则空间,x∈X,则点x的所有紧致邻域构成的集族是拓扑空间X在点x处的一个邻域基． 　　证明　设U是x∈X的一个开邻域．令D为x的一个紧致邻域,则是x的一个开邻域．因为X是正则空间,所以存在x的开邻域V使得．闭集是x的一个闭邻域,并且作为紧致空间D中的闭子集,它是紧致的．以上证明了在x的任何开邻域U中包含着某一个紧致邻域 ． 　　从前面两个定理立即可以推出: 　　推论7.6.3　设X是一个局部紧致的Hausdorff空间,x∈X．则点x的所有紧致邻域构成的集族是拓扑空间X在点x处的一个邻域基． 　　定理7.6.4　每一个局部紧致的正则空间都是完全正则空间． 　　证明　设X是一个局部紧致的正则空间．我们验证X是一个完全正则空间如下: 　　设x∈X和B是X中的一个闭集,使得是x的一个开邻域．由定理7.6.2,存在x的一个紧致闭邻域V,使得．V作为X的一个子空间是紧致的正则空间(正则是可遗传的),因此是完全正则的．因而存在连续映射g:V→[0,1],使得g(x)=0,和对于任何有g(y)=1． 　　定义映射h:使得．显然h是一个连续映射 　　定义映射f:X→[0,1],使得对于任何z∈X 　　 　　首先,映射f的定义是确切的,因为如果,则有g(z)=1=h(z)．其次,都是X中的闭集,从而根据黏结引理,f是连续的．最后,显然有f(x)=0及对于 　　根据定理7.6.1,定理7.6.4及图表6.1,立即可得图表7.4 　　定义7.6.2　设集族A和B都是集合X的覆盖,如果A中的每一个元素包含于B中的某一个元素之中,则称A是B的一个加细． 　　显然,如果A是B的一个子覆盖,则A是B的一个加细 　　定义7.6.3　设X是一个拓扑空间,A是X的子集A的一个覆盖．如果对于每一个x∈A,点x有一个邻域U仅与A中有限个元素有非空的交,即: 　　{A∈A|A∩U≠}是一个有限集,则称A是集合A的一个局部有限覆盖． 　　有限覆盖当然是局部有限覆盖． 　　定义7.6.4　设X是一个拓扑空间,如果X的每一个开覆盖都有一个局部有限的开覆盖是它的加细,则称X是一个仿紧致空间． 　　紧致空间自然是仿紧致的．离散空间也是仿紧致的,因为所有单点集构成的集族是离散空间的一个开覆盖并且是它的任何一个开覆盖的局部有限的加细． 　　定理7.6.5　每一个仿紧致的正则空间都是正规空间． 　　证明:设X是一个仿紧致的正则空间,A是X中的一个闭集,U是A的一个开邻域．对于每一个a∈A,点a有一个开邻域,使得．从而集族是X的一个开覆盖,它有一个局部有限的加细,设为,令．则是A的一个局部有限的开覆盖．于是是A的一个开邻域．以下证明． 　　 　　如果,由于是局部有限的,所以x有一个邻域W只与中有限个元素有非空的交,于是 　　 　　这证明了 　　定理7.6.6　每一个仿紧致的Hausdorff空间都是正则空间,因而也是正规空间． 　　证明:设X是一个仿紧致的Hausdorff空间,兹验证X是一个正则空间如下: 　　设x∈X,B是X中的一个不包含点x的闭集,对于每一个b∈B,存在x的一个开邻域和b的一个开邻域,使得．特别,．集族是X的一个开覆盖,它有一个局部有限的加细,设为．令．集族是B的一个局部有限的开覆盖．令 　　．V是闭集B的一个开邻域．我们有．(x有一个邻域W只与中有限个元