《点集拓扑学》章 §. 紧致性与分离性公理.docVIP

§7.2　紧致性与分离性公理 　　本节重点: 　　掌握紧致空间中各分离性公理的关系； 　　掌握Hausdorff空间中紧致子集的性质. 　　在本节中我们把第六章中研究的诸分离性公理和紧致性放在一起进行考察、我们将会发现在紧致空间中分离性公理变得十分简单了．此外在本节的后半部分，我们给出从紧致空间到Hausdorff空间的连续映射的一个十分重要的性质． 　　定理7.2.1　设X是一个Hausdorff空间．如果A是X的一个不包含点x∈X的紧致子集，则点x和紧致子集A分别有开邻域U和V使得U∩V=． 　　证明　设A是一个紧致子集，x∈．对于每一个y∈A，由于X是一个Hausdorff空间，故存在x的一个开邻域和y的一个开邻域．集族{|y∈A}明显是紧致子集A的一个开覆盖，它有一个有限子族，设为 {}，覆盖A．令，它们分别是点x和集合A的开邻域．此外，由于对于每一个i=1，2，…，n有： 　　 　　所以 　　 　　推论7.2.2　Hausdorff空间中的每一个紧致子集都是闭集． 　　证明　设A是Hausdorff空间X的一个紧致子集．对于任何x∈X，如果xA，则根据定理7.2.1可见x不是A的凝聚点．因此凡A的凝聚点都在A中，从而A是一个闭集． 　　推论7.2.2　结合定理7.1.5可见： 　　推论7.2.3　在一个紧致的Hausdorff空间中，一个集合是闭集的充分必要条件是它是一个紧致子集． 　　为了加强读者对定理7.1.5，推论7.2.2和推论7.2.3中的几个简单而常用的结论的印象，重新简明地列举如下： 　　紧致空间：闭集紧致子集 　　Hausdorff空间：闭集紧致子集 　　紧致的hausdorff空间：闭集紧致子集 　　推论7.2.4　每一个紧致的Haudorff空间都是正则空间． 　　证明　设A是紧致的Hausdorff空间X的一个闭子集，x是X中的一个不属于集合A的点．由于紧致空间中的闭子集是紧致的（参见定理7.1.5），所以A是一个紧致子集．又根据定理7.2.1，点x和集合A分别有开邻域U和V使得U∩V=．这就证明了X是一个正则空间． 　　定理7.2.5　设X是一个Hausdorff空间．如果A和B是X的两个无交的紧致子集，则它们分别有开邻域U和V使得U∩V=． 　　证明　设A和B是X的两个无交的紧致子集．对于任何x∈A，根据定理7.2.1，点x和集合B分别有开邻域．集族{|x∈A}是紧致子集A的一个开覆盖，它有一个有限子族，设为{ }，覆盖A．令 　　 由于对于每一个i＝1，2，…，n有∩V=，所以U∩V=． 　　由于Hausdorff空间的每一个闭子集都是紧致子集，所以根据定理7.2.5立即有： 　　推论7.2.6　每一个紧致的Hausdorff空间都是的， 　　这个结论也可以根据推论7.2.4和定理6.4.3直接推出．根据这个推论联系着表6.1并且留意到每一个紧致空间都是Lindeloff空间这一事实，我们可有图表7.1．从这个图表中可以看出，在紧致空间中分离性公理显得特别简单． 　　图表7.1：紧致空间中的分离性公理 　　定理7.2.7　设X是一个正则空间．如果A是X中的一个紧致子集，U是A的一个开邻域，则存在A的一个开邻域V使得． 　　证明　设A是正则空间X中的一个紧致子集，U是A的一个开邻域．对于任何x∈A，点x有一个开邻域使得集族{|x∈A}是紧致子集A的一个开覆盖，它有有限子族，设为{ }，覆盖A．令，它是A的一个开邻域，并且 　　 　　根据这个定理立即可见，每一个紧致的正则空间都是正规空间．然而这并不是什么新结论，因为每一个紧致空间都是Lindeloff空间，所以它明显地蕴涵于定理6.4.3中． 　　然而紧致的正规空间可以不是正则空间．例子见于例6．2．3．在那个正规而非正则空间的例子中的拓扑空间只含有有限多个点，当然会是紧致的． 　　定理7.2.8　从紧致空间到Hausdorff空间的任何一个连续映射都是闭映射． 　　证明　设X是一个紧致空间，Y是一个Hausdorff空间，f:X→Y是一个连续映射．如果A是紧致空间X中的一个闭子集．则它是紧致的（参见定理 7.1.5），因此它的象集f（A）是Hausdorff空间Y中的一个紧致子集（参见定理7.1.4），所以又是闭集（参见推论7.2.2）．这证明f是一个闭映射． 　　因为一个既单且满的开（或闭）的连续映射即是一个同胚，所以我们有： 　　推论7.2.9　从紧致空间到Hausdorff空间的任何一个既单且满的（即—一的）连续映射都是同胚． 　　作业: 　　P192　1.2.