《等差数列求和公式》教案.docVIP

PAGE  PAGE 3 等差数列求和公式 教学目标 1．知识目标 (1)掌握等差数列前n项和公式，理解公式的推导方法； (2)能较熟练应用等差数列前n项和公式求和。 2．能力目标 经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思和逻辑推理的能力。 3．情感目标 通过生动具体的现实问题，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感,体验在学习中获得成功。 教学重点、难点 1．等差数列前n项和公式是重点。 2．获得等差数列前n项和公式推导的思路是难点。 教学过程 复习回顾： 1．等差数列的定义； 2．等差数列的通项公式。 新课引入： 问题一： 介绍德国著名数学家高斯，相传高斯在10岁那年他的算术老师给他出了一道算术题：1+2+3+…+100=？。结果高??很快就算出了答案，你知道高斯是怎么很快的算出结果的吗？ 请同学起来回答，如何进行首尾配对求和：===5050. 师：非常好！这位同学和数学家高斯一样聪明！这里高斯的配对法就是采用的“首尾配对法”。师：这里1,2,3，…，100这是一个什么数列？生：等差数列。师：这里就是在求一个等差数列的和的问题。引出课题：7.2.2等差数列求和。 一、数列的前n项和意义 一般地，设有数列…,我们把叫做数列的前n项和，记作．即． 问题二： （课件出示印度泰姬陵的图片），介绍传说中的泰姬陵陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共21层。你知道镶饰这个图案一共花了多少宝石吗？ 学生回答：即求。师：怎么求？ 生：仿照上面的方法，首尾配对（1+21）+（2+20）+…+(10+12)。师：这里一共配成了几对呢？生：10对，再加上中间一个数11，得到结果231。师：很好。我们用高斯的首尾配对法也能求出结果来。那么，有没有更简单一点的配对方法呢？ 课件演示，在三角形红宝石图案旁添一个相同倒置三角形蓝宝石图案，将两个三角形拼成平行四边形。则 原三角形红宝石图案：， 后添的三角形蓝宝石图案：， 平行四边形图案所有宝石数：， 所以，。 这种求和方法叫倒序相加法，与高斯的首尾相配法原理如出一辙。 师：上面我们求了，在这两个问题中，最后，这个和都可以写成首项与末项的和乘以项数的一半。那么，是不是所有的等差数列都有这个求和公式呢？下面我们来证明这个公式。 二．等差数列的前n项和公式 设有等差数列：公差为，前项和为，则 ； . 将两式分别相加，得：， 由此得到等差数列的前项和的公式 （公式一） 说明：这里一共有4个量，已知3个量就可以求出第4个量。 因为，所以上面的公式又可以写成 （公式二） 例题： 例1：在等差数列中， （1）已知，求；（2）已知，求。 通过此例题，让学生体会在具体的问题中如何根据已知条件选择适当的求和公式。 例2：一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放1支，最上面一层放120支。这个V形架上共放了多少支铅笔？ 请学生回答。先归结为数学问题，然后选择适当的求和公式，代入求解。 课堂小练： 1．计算： 。 2．已知数列为等差数列， (1)若，求； (2)若，求； (3)若，求； 例3：已知等差数列－10，－6，－2，2，…，的前多少项和为54？ 例4：在等差数列中，已知，求及。 请学生思考，列出两个关于和的方程，再求解。 说明：在等差数列的通项公式与前n项公式中，含有五个量，已知其中的3个量就可以求出余下的两个量。 课堂小结： 1．等差数列前n项和Sn公式的推导--倒序相加法； 2．等差数列前n项和Sn公式的记忆与应用； （公式一）； （公式二）