《线性代数》复习(部分关系和结论)(未授内容删除).docVIP

《线性代数》复习 可能的题型： 填空题；选择题；计算题；简述题； 证明题 几个专题 （一）行列式： 1. 用对角线法则计算二阶和三阶行列式； 2. 熟悉一些特殊行列式的结果，例如上（下）三角行列式，分块上（下）三角行列式，范德蒙行列式等； 3. 用行列式的性质确定某些抽象行列式的值 （参考B强化一/一/1）； 4．用行列式的性质三角化行列式； 5．用行列式按行（列）展开得到不同阶数的同类行列式的递推关系，从而导出结果； 6. 将行列式的性质和行列式按行（列）展开相结合，逐次降低行列式的阶数，最终求出结果； 7．行列式按行（列）展开及其推论的应用（参考B强化一/三/2，B强化三/一/2） （二）方阵可逆的定义及其等价条件： 1．； 2．（或）； 3．（即非奇异）； 4．的阶数（即满秩）； 5．只有零解（或对任何非零向量，）； 6．有唯一解； 7．（为初等矩阵，）； 8．~（即与等价）； 9．的列（行）向量组线性无关； 10．的特征值全不为零 （三）的逆矩阵计算： 1．由矩阵方程解出；或由解出的第列； 2．； 3． 注：矩阵方程的求解一般通过（各种形式）方程变形转化为逆矩阵计算 （四）有关秩的结论： 1．； 2．； 3．若，则； 4．若，可逆，则； 5．； 6. 若非奇异，则； 7．（通过与同解）； 8．若，则； 9．矩阵的秩等于它的列（行）向量组的秩； 10. 等价向量组有相同的秩； 11．矩阵的秩、向量组的秩、二次型的秩的定义； 注：矩阵的秩及其最高阶非零子式的计算，向量组的秩，极大无关组的计算以及向量组的其它向量用极大无关组表示的问题； 另外向量组之间的表示具有传递性，极大无关组与所属向量组等价 （五）向量组线性相关性的结论： 1．向量组线性相关有非零解 矩阵的秩； 2．当时，个维向量必线性相关； 3．线性相关向量组的扩充向量组仍线性相关，特别含零向量的向量组线性相关（线性无关向量组的任何部分组必线性无关） 4．（）线性相关至少其中有一个向量可用其余个向量线性表示；特别当线性无关时，可由唯一线性表示； 5．个维向量线性相关； 6．线性相关的各分量对应成比例； 7．若向量组可由线性表示且线性无关，则的向量个数不超过的向量个数 注：线性相关性的判定和证明（本质是看有非零解还是只有零解？） （六）与线性方程组解有关的结论： 1．元齐次线性方程组有非零解； 特别，若的行数小于，则必有非零解； 2．元齐次线性方程组的解集是一个向量空间（解空间）；若，则解空间的维数，设是基础解系，那么的通解为； 3．元非齐次线性方程组有解； 特别，若的行向量组线性无关，则必有解(因为此时的行数)； 4. 元非齐次线性方程组有解可以由的列向量组线性表示与等价； 5．设，唯一解对应，无穷多解对应。在无穷多解的情况下的通解为，其中是的基础解系，是的特解； 6．若，则元非齐次线性方程组有且最多有个线性无关解（例如：）； 7．设是非齐次线性方程组的解，并令，那么是的解 是的解 注：线性方程组解的讨论和具体计算（克莱姆法则和初等行变换法的特点及其适用范围）； 有唯一解只有零解（若有解，也可反推） 有无穷多解有非零解（反推条件同上） （七）方阵正交的定义及其等价条件： 1．（或）； 2．； 3．的列（行）向量都为单位向量且两两正交； 4．对任何和，成立 （：。 ：记， 则，，故，从而。） （八）特征值和特征向量的性质及其计算，例如 特征值与行列式以及对角元素之和的两个等式关系； 与，与的特征值和特征向量的关系； 不同特征值的特征向量的线性无关； 对称矩阵不同特征值的特征向量的正交 (十) 化二次型为标准形 正交变换法（此时的标准形系数恰好是的特征值） （十一）几种矩阵关系 1．等价关系，矩阵等价的不变量（秩），矩阵标准形； 2．相似关系，矩阵相似的不变量（特征多项式和特征值），对角化的问题（是否有与矩阵相同个数的线性无关的特征向量， 关键看特征值是特征方程的重根时是否都存在相应重数个线性无关的特征向量， 特别当阶方阵有个不同特征值时必可对角化） 3．合同关系，与二次型 可比较的一些关系 ●一般不成立 （例如取，，偶数） ● （和都对称时，也对称） ●一般不成立 （例如，） ●和均正交推不出正交 (列（行）向量长度) ● ●一般不成立，应有 ●一般不成立，应有 ●和均正交可推得正交 ● ● ● ● ●一般不成立，应有 ●一般不成立，应有 若正交，则 若可逆，则