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第二部分 矩阵 -  PAGE 22 - 《线性代数》考研辅导讲义2 第二部分 矩阵 一.矩阵 矩阵的概念,阶矩阵,行矩阵(行向量),列矩阵(列向量),零矩阵,负矩阵,同型矩阵,矩阵的相等,单位矩阵 二.矩阵的基本运算及其性质 1.矩阵的加法与数乘 设,则,. 性质: (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) 或 (10) 2.矩阵的乘法与矩阵的幂 设,则,其中 【注意】 (1) 与可乘的条件是:左矩阵的列数等于右矩阵的行数; (2)积矩阵的行数等于左矩阵的行数,列数等于右矩阵的列数. 性质: (1) (2) (3) (4) 【注意】 (1) ,从而 若,则称与可交换,此时,以上代数公式都成立. (2) 推不出或;但若且可逆,则. (3) 推不出,当若且可逆,则. 设为阶矩阵,则.规定:时. 性质: (1) (2) 设为阶矩阵,,则 3.矩阵的转置: 设,则. 性质: (1) (2) (3) (4) (5) 4.阶矩阵的行列式 性质: (1) ; (2)设为阶矩阵,则,虽然; (3) . 【注意】 (1) (2) (3) 当时,称为非奇异矩阵;否则,称为奇异矩阵(即). 三.逆矩阵与伴随矩阵 设为阶矩阵,若,则称可逆,是的逆矩阵,记为. 阶矩阵的伴随矩阵 其中是中元素的代数余子式. 性质: (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 是惟一的; (8) 可逆,且; (9) 可逆为非奇异矩阵; (10) 可逆阶矩阵,使得(或),此时. 伴随矩阵的性质: (1) ;显然可逆可逆; (2) ; (3)若,则; (4) ; (5) 若,则; (6) ; (7) ; (8) . 四.特殊矩阵 1.对角矩阵: .对角矩阵的和、差、积、逆仍是对角矩阵,即 设,则 (1) ; (2) ; (3) ; (4) 全不为零. 2.数量矩阵(纯量矩阵): .在矩阵的运算中与数的运算完全相同. 3.三角矩阵:包括上、下三角矩阵.上(下)三角矩阵的和、差、积仍是上(下)三角矩阵. 4.对称矩阵: .有 若为实对称矩阵,则都是对称矩阵.但 为对称矩阵. 5.反对称矩阵: ,有从而若为反对称矩阵,则任何一个矩阵可以表示为对称矩阵与反对称矩阵之和,即 . 6.正交矩阵: . (1) ; (2)若为??正交矩阵,则也是正交矩阵,但不是正交矩阵; (3) 为正交矩阵的行(或列)向量组为两两正交且单位化的向量组. 五.矩阵的初等变换与初等矩阵 1.矩阵的初等行(列)变换 行阶梯形矩阵、行最简形矩阵. 任一矩阵总可以经过有限次初等行变换变成行阶梯形矩阵和行最简形矩阵. 2.初等矩阵 (1)初等矩阵均可逆,且其逆矩阵是同类的初等矩阵; (2)用初等矩阵左(或右)乘矩阵,相当于对作一次相应的初等行(或列)变换; (3)矩阵可逆可表示成若干个初等矩阵的乘积. 3.矩阵的等价:. (1) (2) (3) ,其中. 4.矩阵的秩:的定义. 性质: (1); (2); (3); (4); (5)可逆; (6); (7)若; (8); (9)中至少有一个阶子式不为零;中所以阶子式全为零. (10)(即为满秩矩阵),故 为可逆矩阵为非奇异矩阵为满秩矩阵. 5.用初等变换求与 (1)求:(行阶梯形矩阵),则中非零行的行数. (2)求及解矩阵方程 ; ,则; ,则. 六.分块矩阵 1.按行(或列)分块: 按列分块;按行分块. 2.分块对角矩阵:,则 (1); (2); (3)若可逆,则可逆,且. 注意:. 典型例题 一.行矩阵（向量）与列矩阵（向量）的乘积 例1 设,求与. 解 . 二.求的方法 1.用的归纳定义计算:. 例2 设,则 . 解 方法一:. 方法二:,则. 2.由计算 要求:A与B可交换(