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PAGE  《高等数学》下册期中试卷 　　 第  PAGE 4 页 共  NUMPAGES 4 页 上海师范大学标准试卷 2011~ 2012学年 第二学期 考试日期 2012年 4月25日 （考试时间：100分钟） 科目：《高等数学》（同济六版 期中） 专业 本、专科 年级 班 姓名 学号 题号一二三四总分 得分一、选择题（本大题满分21分，每空格填对得3分） 我承诺，遵守《上海师范大学考场规则》，诚信考试。 签名：________________ 得得分  1. 利用待定系数法求微分方程的特解时，应该设 （ C ） A. B. 　 C. 　 D. ； 2. 微分方程的通解是 ( C ) A. B. 　C 　D. 3. 直线在平面上，则的值为 （ C ） A. 　??　　B. 　　　　C. 　　　D.不能确定 4. 在空间直角坐标系中，方程所表示的曲面是 ( A ) A. 椭球面 　 　　　B. 椭圆抛物面 　 　C. 椭圆柱面　　 D. 单叶双曲面 5.设函数，则在处 （ B ） A．无极限 B．连续 C．可微 D.偏导数不存在 6. 已知直线与平面平行，则的值为 （ D ） A. B. C. D. 7. 若函数满足关系式 , 则等于 ( B ) A. 　 B. 　 C. D. 得得分 二、填空题（本大题满分 21分，每小题3分） 1.设是微分方程的三个特解，则此微分方程的通解是． 2.方程的通解是． 3.设若，的夹角为，则 ， ． 4.曲线在面上投影曲线的方程为． 5.方程的通解为． 6.函数在点处沿方向的方向导数为． 7.设，则2． 得得分 三、解答题（本大题满分48分，每小题8分） 1.求微分方程的满足的特解． 解：原方程可以化为 其通解为 由于，所以， 特解为 2.求方程的通解． 解：令，则，原方程可以化为， ， ， ，,，，. 3. 过点和且平行于轴的平面方程． 解：因为平面平行于轴，可设平面方程是，则 ,其一个解为 所求平面方程是. 4.求由方程确定函数在点处的全微分． 解：设， 则， ， 所以. 5. 设,求与． 解：设，则 , . 6.求抛物面与平面之间的最短距离． 解：即求函数在条件下的最值， 令，解得 当时，抛物面上的点到平面的距离最短 最短距离为. 得得分 四、证明题（本大题满分10 分,每小题5分） 证明：若可导，则函数是方程 的一个解． 证明：令， 所以． 即函数是方程 的一个解. 若可导，证明: 曲面在其上任一点的切平面都与直线平行. 证明：令，曲面在点处的切平面的法向量是 ，（其中） 直线的方向向量 ，即， 所以曲面在点处的切平面都与直线平行.