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第34讲 直线与圆锥曲线的位置关系 一．课标要求： 1．通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想； 2．掌握直线与圆锥曲线的位置关系判定及其相关问题。 二．命题走向 近几年来直线与圆锥曲线的位置关系在高考中占据高考解答题压轴题的位置，且选择、填空也有涉及，有关直线与圆锥曲线的位置关系的题目可能会涉及线段中点、弦长等。分析这类问题，往往利用数形结合的思想和“设而不求”的方法，对称的方法及韦达定理等。 预测2013年高考： 1．会出现1道关于直线与圆锥曲线的位置关系的解答题； 2．与直线、圆锥曲线相结合的综合型考题，等轴双曲线基本不出题，坐标轴平移或平移化简方程一般不出解答题，大多是以选择题形式出现。 三．要点精讲 1．点M(x0，y0)与圆锥曲线C：f(x，y)=0的位置关系 2．直线与圆锥曲线的位置关系 直线与圆锥曲线的位置关系，从几何角度可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异公共点。 直线与圆锥曲线的位置关系的研究方法可通过代数方法即解方程组的办法来研究。因为方程组解的个数与交点的个数是一样的。 直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离．对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．这三种位置关系的判定条件可引导学生归纳为： 注意：直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件． 3．直线与圆锥曲线相交的弦长公式 设直线l:y=kx+n，圆锥曲线：F(x,y)=0，它们的交点为P1 (x1,y1)，P2 (x2,y2)， 且由，消去y→ax2+bx+c=0（a≠0），Δ=b2 －4ac。 则弦长公式为： d====。 四．典例解析 题型1：直线与椭圆的位置关系 例1．已知椭圆：，过左焦点F作倾斜角为的直线交椭圆于A、B两点，求弦AB的长。 例2．中心在原点，一个焦点为F1（0，）的椭圆截直线所得弦的中点横坐标为，求椭圆的方程。 点评：根据题意，可设椭圆的标准方程，与直线方程联立解方程组，利用韦达定理及中点坐标公式，求出中点的横坐标，再由F1（0，）知，c=，，最后解关于a、b的方程组即可。 例3．直线与曲线 的公共点的个数为（ ） (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 点评：本题考查了方程与曲线的关系以及绝对值的变换技巧，同时对二次方程的实根分布也进行了简单的考查。 例4．已知椭圆C的焦点分别为F1（，0）和F2（2，0），长轴长为6，设直线y=x+2交椭圆C于A、B两点，求线段AB的中点坐标。 点评：本题主要考查椭圆的定义标准方程，直线与椭圆的位置关系及线段中点坐标公式。 题型2：直线与双曲线的位置关系 例5．（1）过点与双曲线有且只有一个公共点的直线有几条，分别求出它们的方程。 （2）直线与双曲线相交于A、B两点，当为何值时，A、B在双曲线的同一支上？当为何值时，A、B分别在双曲线的两支上？ 点评：与双曲线只有一个公共点的直线有两种。一种是与渐近线平行的两条与双曲线交于一点的直线。另一种是与双曲线相切的直线也有两条。 例5．（1）求直线被双曲线截得的弦长； （2）求过定点的直线被双曲线截得的弦中点轨迹方程。 点评：（1）弦长公式；（2）有关中点弦问题的两种处理方法。 例7．过双曲线的一焦点的直线垂直于一渐近线，且与双曲线的两支相交，求该双曲线离心率的范围。 点评：直线与圆锥曲线的位置关系经常和圆锥曲线的几何要素建立起对应关系，取值范围往往与判别式的取值建立联系。 题型3：直线与抛物线的位置关系 例8．已知抛物线方程为，直线过抛物线的焦点F且被抛物线截得的弦长为3，求p的值。 点评：方程组有两组不同实数解或一组实数解则相交；有两组相同实数解则相切；无实数解则相离。 例9．直线y=x－1被抛物线y2=4x截得线段的中点坐标是_____. 答案：（3，2） 点评：本题考查曲线的交点与方程的根的关系.同时应注意解法一中的纵坐标与解法二中的横坐标的求法。 例10．抛物线方程为y2=p（x+1）（p＞0），直线x+y=m与x轴的交点在抛物线的准线的右边. （1）求证：直线与抛物线总有两个交点； （2）设直线与抛物线的交点为Q、R，OQ⊥OR，求p关于m的函数f（m）的表达式； （3）在（2）的条件下，若抛物线焦点F到直线x+y=m的距离为，求此直线的方程； 点评：本题考查抛物线的性质与方程，抛物线与直线的位置关系，点到直线的距离，函数与不等式的知识，以及解决综合问题的能力。 例11．已知抛物线y2=4x，过点P(4，0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，则y12+y22的最小值是 。 点评