《高中考数学核心考点透析》精选(集合与命题不等式).docVIP

第一章 集合与命题 考点综述 集合与命题是高中数学的基石，高考对这部分知识的考查主要有三个方面：一是集合的概念、关系和运算；二是集合语言与集合思想的运用（如求方程与不等式的解集、函数的定义域和值域等）；三是命题之间的逻辑关系的判断和推理．此外与集合有关的信息迁移题、集合与其他知识相结合的综合题都值得高度关注.考查重点是集合与集合之间的关系、条件的判断.其核心考点有：集合的概念及相应关系，集合的运算，命题及充要条件． 考点1 集合的概念及相应关系 典型考法1 与含参数的方程有关的集合问题 典型例题 已知集合 (1)若A是空集，试求a的取值范围； (2)若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来； (3)若A中至多只有一个元素，求a的取值范围． 解析 集合A是方程在实数范围内的解集． (1)若A是空集，则显然a≠0，且方程无解，得，，即a的取值范围是． (2)当a=0时，，符合题意；当a≠0时，必须，，此时，符合题意； 综上所述，或． (3) A中至多只有一个元素，包括A是空集和A中只有一个元素这两种情况，根据(1)和(2)的结果，知a=0或，故a的取值范围是． 必杀技：　　用分类讨论的方法解决集合中含参数的方程问题 一般地，对于集合，其中，，均为实数， 当a≠0时，是一元二次方程的根的集合．须注意：若求非空集合中的元素之和，则应分与这两种情形，具体为 (1)若，则有两个不等的实根，于是，非空集合 中的元素之和为； (2)若，则有两个相等的实根，于是，非空集合 中的元素之和为． 实战演练 1． 已知为单元素集，则实数的取值的集合为 ． 2．设A={x｜x2+(b+2)x+b+1=0，b∈R}，求A中所有元素的和． 3．对于函数f(x)，设，． (1) 求证：； (2) 若，且，求a的取值范围． 参考答案 1．. 2．当b≠0时，和为－(b+2)；当b=0时，和为－1． 3．(1)略 (2) 提示：由知： ，中元素是方程的实根，由得方程要么没有实根，要么实根是方程的根，易得或，故的取值范围是． 典型考法2 集合对某种运算的封闭性 典型例题 设． (1)属于的两个整数，其积是否仍属于，为什么？ (2)、、是否属于，请说明理由． 解析 (1) 设，则，，， ， ，且，从而，即属于的两个整数，其积仍属于． (2) ． 假设，则存在整数，使，即，由于为偶数，注意到与具有相同的奇偶性，所以均为偶数，其乘积应是4的整数倍，但不是4的整数倍，导致矛盾，故假设不成立，即． 必杀技 深刻理解集合中的元素所具有的性质 1．要证明 ，通常应是将运算后得到的结果化为集合中元素所有的特征形式． 2．要证明，通常用反证法． 实际上，本题还可得到进一步的结果：对任意均为中的元素，而不是中的元素． 实战演练 1．设非空集合满足：当时，有．给出如下三个命题：①若，则；②若，则；③若，则．其中正确命题的个数是……………………………………………………………………（　　）. A．0 B．1 C．2 D．3 2．已知． (1)如果，那么是否为的元素，请说明理由； (2)当且时，证明：可表为两个有理数的平方和． 3．已知集合，其中，由中的元素构成两个相应的集合：， ．其中是有序数对，集合和中的元素个数分别为和．若对于任意的，总有，则称集合具有性质． （I）检验集合与是否具有性质并对其中具有性质的集合，写出相应的集合和； （II）对任何具有性质的集合，证明：； （III）判断和的大小关系，并证明你的结论． 参考答案： 1．D . 2．(1); (2)证略． 注：任意一个有理数均可表示成（其中为整数且）的形式． 3．（I）集合不具有性质．集合具有性质，其相应的集合和是，． （II）证略. 提示：由中元素构成的有序数对共有个，且当时，．从而，集合中元素的个数最多为，即． （III） .提示：对于，这里，，且，从而．如果与是的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与中也至少有一个不成立．故与也是的不同元素．可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即．同理可得，于是便有． 考点2 子集、集合中的图形 典型考法1 子集 典型例题 设为集合的子集，且，若 ，则称为集合的元“好集”． (1)写出实数集的一个二元“好集”； (2)求出正整数集的所有三元“好集”； (3)证明：不存在正整数集的元“好集”． 解析(1) ，，等． (2)当时，，不妨设，则由可得，，，，注意到且，故，． 因此，正整数集的三元“好集”只有； (3)当时，不妨设中的最大元素为，则依题设条件，得 ………………（※）， 故 ， 即有，则．又因为