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PAGE  PAGE 25 第四讲 随机模拟 如果认为计算机在数学建模中的作用仅仅是根据已经建立的模型，代入数据算出最后结果的话，那就错了。其实计算机可以在建模阶段帮助我们选捧合理的模型，对模型进行定量的测试从而帮助我们评价和改进。 计算机模拟中的蒙特卡罗方法又称随机抽样技巧或统计试验方法。半个多世纪以来，由于科学技术的发展和电子计算机的发明 ，这种方法作为一种独立的方法被提出来，并首先在核武器的试验与研制中得到了应用。蒙特卡罗方法是一种计算方法，但与一般数值计算方法有很大区别。它是以概率统计理论为基础的一种方法。由于蒙特卡罗方法能够比较逼真地描述事物的特点及物理实验过程，解决一些数值方法难以解决的问题，因而该方法的应用领域日趋广泛。 4.1相关原理及计算实验 1.模拟法分类 （1）运筹对策法：主要用??军事对策和企业管理对策。如现代化战争的军事演习、新式武器的试验等。最早于 40 年代末美国纽曼等人首先用运筹模拟法解决了核屏蔽实验问题。 （2）蒙特卡罗法：蒙特卡罗方法又称随机抽样技巧或统计试验方法，与一般数值计算方法有很大区别。它是以概率统计理论为基础的一种方法。 例1：设总计投了M根针，落入阴影部分N根，则不规则图形的面积为 1 1 针在平行线间的位置 图（4.1） 图（4.2） 例2. （蒲丰投针实验） 为了求得圆周率π值，在十九世纪后期，有很多人作了这样的试验：将长为2l的一根针任意投到地面上，用针与一组相间距离为2a（ l＜a）的平行线相交的频率代替概率P，再利用准确的关系式： 求出π值 其中Ｎ为投计次数，n为针与平行线相交次数。这就是古典概率论中著名的蒲丰氏问题。一些人进行了实验，其结果列于下表 ： 表4-1 实验者年份投计次数π的实验值沃尔弗(Wolf)185050003.1596斯密思(Smith)185532043.1553福克斯(Fox)189411203.1419拉查里尼(Lazzarini)190134083.1415929解：设针投到地面上的位置可以用一组参数（x,θ）来描述，x为针中心的坐标，θ为针与平行线的夹角，如图所示。任意投针，就是意味着x与θ都是任意取的，但x的范围限于［0，a］，夹角θ的范围限于［0，π］。在此情况下，针与平行线相交的数学条件是 如何产生任意的（x,θ）？x在［0，a］上任意取值，表示x在［0，a］上是均匀分布的，其分布密度函数为： 类似地，θ的分布密度函数为： 因此，产生任意的（x,θ）的过程就变成了由f1(x)抽样x及由f2(θ)抽样θ的过程了。由此得到： 其中ξ1，ξ2均为（0,1）上均匀分布的随机变量。 每次投针试验，实际上变成在计算机上从两个均匀分布的随机变量中抽样得到（x,θ），然后定义描述针与平行线相交状况的随机变量s(x,θ)，为 如果投针Ｎ次，则 是针与平行线相交概率Ｐ的估计值。事实上， 于是有 由以上例子可以看出，当所求问题的解是某个事件的概率，或者是某个随机变量的数学期望，或者是与概率、数学期望有关的量时，通过某种试验的方法，得出该事件发生的频率，或者该随机变量若干个具体观察值的算术平均值，通过它得到问题的解。这就是蒙特卡罗方法的基本思想。 （3）系统模拟法：是用数字对含有随机变量的系统进行模拟，可看作是蒙特卡洛法的应用。一般说来，蒙特卡洛法用于静态计算，而系统模拟法用于动态模型计算。我们主要讨论此法。 2.随机数的产生 （1）[0,1]区间上均匀分布随机数的产生 在连续型随机变量的分布中，最简单且最基本的分布是单位均匀分布。 定义:设为[0,1]上服从均匀分布的随机变量，即的分布密度函数与分布函数分别为： ， 则的样本值，即以即以等概率取自[0,1]的一串数称为[0,1]上均匀分布的随机数。 随机数的产生方法主要有以下几种：物理方法：一是放射性物质随机蜕变；二是电子管回路的热噪声。（如可将热噪声源装于计算机外部，按其噪声电压的大小表示不同的随机数。此法产生的随机性最好，但产生过程复杂。）查随机数表（Rand Table）（1955年由美国兰德公司编制，有随机数100万个。）随机数表中的数字具有均匀的随机性，没有周期性。使用时，可根据需要任取一段（横或竖）。如需20个，便可从中取（顺次）20个，要几位取几位，随机数表无所谓位数，不能四舍五入。由递推公式（如同余数公式）在计算机内产生伪随机数：由于第i+1个随机数是由第i个按一定公式推算出来的，故并非真正的随机数。 （2）任意概率分布随机数的产生 以上介绍了均匀分布R 的随