【原创】递推数列求和公式分类总结.docVIP

递推数列分类解析 a=a+f(n)类型————逐差法 例：a= a+n-2，a=1,求通项公式。 答案：a=(n-5n+6)/2 (2) a=f(n)*a-----------------逐商法 例：已知a=1，a= a+2a+3a+……+（n-1）a（n≥2） 则a=﹛1,n=1 ___,n≥2 [04全国Ⅰ] 解： 由已知得，a= a+2a+3a+……+（n-1）a+n a 与上式相减得 n≥2时，a- a=n a即a=(n+1) a 又a=1 , a/a=1, a/ a=3, a/ a=4,……, a/ a=n 以上各式相乘得 a=1*1*2*3*4*%*……*n=n！/2(n=2) (3) a=p a+q(p≠1,q≠0)----------待定系数法构造等比数列 即令a+λ=p(a+λ),与已知式对比系数 （4）S=f(a) 一般利用a=S(n=1); S-S(n≥2) (5)* a=pa+r*q( p≠1,0,q≠0,r≠0) 当p≠q时，一般用待定系数法构造等比数列，即令a+λq=p（a+λq） 对比系数得λ(p-q)=r,即λ=r、（p-q）转化为{ a+ q *r/(p-q)}为等比数列；当p=q时，a=p a+r q，将递推式两边同时除以q，得a/ q= a/ q+r/q,从而转化为{ a/ q}是等差数列 例：S=3/4* a-1/3*2^表示一个数的方，如q^n意思是q (n+1)+3/2,n=1,2,3,……求数列{ a}的通项。【06全国Ⅰ】 解：当n=1时，S= a=3/4* a-1/3*4+2/3 得a=2 n≥2时，S- S= a=4/3* a-4/3 a-1/3*2^(n+1)+1/3*2^n 化简得a=4 a+2^n  eq \o\ac(○,1) 设a+λ*2^n=4(a+λ*2^(n-1))即a=4 a+λ2^n,与 eq \o\ac(○,1)式比较得，λ=1 ∴a+2^n=4(a+2^n) ∴{a+2^n}是以4为首项、4为公比的等比数列 ∴2^n+a=4^n a=4^n-2^n (6) a=pa+a*n+b (p≠1,0,a≠0) 一般用待定系数法构造等比数列，即令a+x（n+1）+y=p（a+xn+y） 与已知式比较，解出x，y，转化为{a+xn+y}是以p为公比的等比数列 例：{a}中a=1/2,点（n, 2a-a）在直线y=x上，其中n=1，2，3，……求a【06山东】 解：∵2a-a=n, ∴a=1/2*a+n/2 所以令a+x（n+1）+y=1/2(a+xn+y) a=1/2*a-x/2*n-x-1/2*y,与 eq \o\ac(○,1)式比较得 x=-1，y=2 ∴a-（n+1）+2=1/2(a-n),又a=1/2 所以{a-n=2}是以3/2为首项，1/2为公比的等比数列 所以 -n+2+a=3/2*(1/2)^(n-1)=3/(2^n) ∴ a=3/(2^n)+n-2 (7) a=p*a(p0, a0) 两边取对数后转化为类型（3） 例：已知a0，a=1，a=1/2 *a(4- a),n∈N【05江西】 证明：aa2,.n∈N 求a 证明：略（用数学归纳法并结合f（x）=1/2*x(4-x)单调性证明） 解：因为a=1/2a（3-a）=-1/2(a-2)^2+2 所以 2-a=1/2(2-a)^2 由（1）知2-a0, 所以 log（2- a）=-1+2 log(2- a) 令b= log（2- a）则b=-1+2 b 所以b-1=2（b-1） 故{ b-1}是以2为公比的等比数列 得b=1-2^n= log(2- a) 所以 a=2-2^(1-2^n) (8) a={f(n)* a}/(g(n) a+h(n)) 两边取倒数后转化为类型（3） （9）a=p a+q a 一般利用a-αa=β（a-αa）构造等比数列 例：【06福建】已知a=1，a=3，a=3 a -2 a，求数列的通项。 （10） a=（p a+q）/(r a+m)【特征方程】 当特征方程x=（px+q）/（rx+m）有两个不同的根x1与x2时，{ (a-x1)/( a-x2)}是等比数列；当它仅有一根x0时，{1/（a-x0）}是等差数列 例【05重庆】已知a=1，8 a*a-16 a+2 a+5=0求a （11）周期型：找出周期 （12）a+ a=pn+q或a* a=p*q^n 一般转化为{a}与{a}是等差或等比数列 （13）归纳猜想法 【06全国Ⅱ】 设{ a}的前n项和为Sn，且方程x^2- ax]- a=0有一根为Sn-1，n