【步步高中 通用(理)】高中三《考前三个月》专题复习篇【配套Word版文档】专题 三.docVIP

第三讲　圆锥曲线的综合问题 1． 直线与圆锥曲线的位置关系 (1)直线与椭圆的位置关系的判定方法： 将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程．若Δ0，则直线与椭圆相交；若Δ＝0，则直线与椭圆相切；若Δ0，则直线与椭圆相离． (2)直线与双曲线的位置关系的判定方法： 将直线方程与双曲线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)． ①若a≠0，当Δ0时，直线与双曲线相交；当Δ＝0时，直线与双曲线相切；当Δ0时，直线与双曲线相离． ②若a＝0时，直线与渐近线平行，与双曲线有一个交点． (3)直线与抛物线的位置关系的判定方法： 将直线方程与抛物线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)． ①当a≠0时，用Δ判定，方法同上． ②当a＝0时，直线与抛物线的对称轴平行，只有一个交点． 2． 有关弦的问题 (1)有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算． ①斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长|P1P2|＝eq \r(1＋k2)|x2－x1|或|P1P2|＝ eq \r(1＋\f(1,k2))|y2－y1|，其中求|x2－x1|与|y2－y1|时通常使用根与系数的关系，即作如下变形： |x2－x1|＝eq \r(?x1＋x2?2－4x1x2)， |y2－y1|＝eq \r(?y1＋y2?2－4y1y2). ②当斜率k不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)． (2)弦的中点问题 有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算． 3． 圆锥曲线中的最值 (1)椭圆中的最值 F1、F2为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为椭圆的任意一点，B为短轴的一 个端点，O为坐标原点，则有 ①|OP|∈[b，a]． ②|PF1|∈[a－c，a＋c]． ③|PF1|·|PF2|∈[b2，a2]． ④∠F1PF2≤∠F1BF2. (2)双曲线中的最值 F1、F2为双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P为双曲线上的任一点，O为坐标原点，则有 ①|OP|≥a. ②|PF1|≥c－a. (3)抛物线中的最值 点P为抛物线y2＝2px(p＞0)上的任一点，F为焦点，则有： ①|PF|≥eq \f(p,2). ②A(m，n)为一定点，则|PA|＋|PF|有最小值． 1． (2013·课标全国Ⅰ)已知椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(ab0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为 (　　) A.eq \f(x2,45)＋eq \f(y2,36)＝1 B.eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,27)＝1 C.eq \f(x2,27)＋eq \f(y2,18)＝1 D.eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,9)＝1 答案　D 解析　设A(x1，y1)、B(x2，y2)， 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,1),a2)＋\f(y\o\al(2,1),b2)＝1,\f(x\o\al(2,2),a2)＋\f(y\o\al(2,2),b2)＝1))运用点差法， 所以直线AB的斜率为k＝eq \f(b2,a2)， 设直线方程为y＝eq \f(b2,a2)(x－3)， 联立直线与椭圆的方程得(a2＋b2)x2－6b2x＋9b2－a4＝0， 所以x1＋x2＝eq \f(6b2,a2＋b2)＝2； 又因为a2－b2＝9，解得b2＝9，a2＝18. 2． (2013·江西)过点(eq \r(2)，0)引直线l与曲线y＝eq \r(1－x2)相交于A、B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于 (　　) A.eq \f(\r(3),3) B．－eq \f(\r(3),3) C．±eq \f(\r(3),3) D．－eq \r(3) 答案　B 解析　∵S△AOB＝eq \f(1,2)|OA||OB|sin∠AOB ＝eq \f(1,2)sin∠AOB≤eq \f(1,2). 当∠AOB＝eq